三角形最小路径和

三角形最小路径和问题

给定一个三角形,找出自顶向下的最小路径和。每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

例如,给定三角形:

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]

自顶向下的最小路径和为 11(即,2 + 3 + 5 + 1 = 11)。

说明:如果你可以只使用 O(n) 的额外空间(n 为三角形的总行数)来解决这个问题,那么你的算法会很加分。

  • 上面这个问题属于动态规划问题。
  • 动态规划问题实质上是递归问题,当递归问题具有了重叠子问题和最优子结构这两个条件后就形成了动态规划问题问题。
  • 动态规划问题有两种解法,自顶向下的记忆化搜索算法和自底向上的动态规划解法。

第一种解法:记忆化搜索算法

// 记忆化搜索算法
class Solution {

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {

        int n = triangle.size();
        if (n < 1)
            return 0;
        // 记忆空间,用来保存中间结果
        int[][] memo = new int[n][n];
        memo[0][0] = triangle.get(0).get(0);

        for(int i=1; i<n; i++)
            for(int j=0; j<=i; j++)
                // j 在最开始位置
                if(j==0){
                    memo[i][j] = triangle.get(i).get(j) + memo[i-1][j]; 
                }
                // j 在最后一个位置
                else if(j==i){
                    memo[i][j] = triangle.get(i).get(j) + memo[i-1][j-1];
                }
                // j 在中间
                else{
                    memo[i][j] = triangle.get(i).get(j) + Math.min(memo[i-1][j-1] , memo[i-1][j]);
                }

        int min = memo[n-1][0];
        for(int i=1; i<n; i++)
            min = Math.min(min, memo[n-1][i]);
        return min;
    }    
}
  • 第二种解法:动态规划(自底向上)
    理解二维数组压缩为一维数组的思想。

class Solution {

    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {

        int n = triangle.size();
        if (n < 1)
            return 0;

        int[] memo = new int[n];
        // 初始值       
        for(int i=0; i<n; i++)
            memo[i] = triangle.get(n-1).get(i); 

        for(int i=n-2; i >= 0; i--)
            for(int j=0; j <= i; j++)
                memo[j] = triangle.get(i).get(j) + Math.min(memo[j], memo[j+1]);

        return memo[0];    

    }    
}
### 使用动态规划计算三角形最小路径 #### 算法思路 对于给定三角形数组,可以通过自底向上或自顶向下的方式应用动态规划来找到最小路径。这里采用自底向上的方法,因为这种方法不需要额外的空间用于存储整个二维表。 在处理过程中,`dp[i][j]` 表示从位置 `(i,j)` 到达底部所需的最小路径。最终的结果保存于 `dp[0][0]` 中[^4]。 为了节省空间复杂度,可以在原地修改输入数据结构中的数值作为临时记录使用的 DP table。具体来说,在遍历每一层节点时更新其上方两层对应位置处的数据;当完成最后一轮迭代之后即可得到所求答案。 #### Python 实现代码 下面是具体的 Python 实现: ```python def minimumTotal(triangle): n = len(triangle) # 如果只有一个元素,则直接返回该元素值 if n == 1: return triangle[0][0] # 自底向上填充DP Table for i in range(n - 2, -1, -1): for j in range(len(triangle[i])): triangle[i][j] += min(triangle[i + 1][j], triangle[i + 1][j + 1]) # 返回顶部元素即为最短路径 return triangle[0][0] ``` 此函数接收一个列表形式表示的三角形并返回其中一条由顶端到底端经过各层不同结点构成的路径长度之最小者。通过上述过程实现了对题目要求的有效解答[^5]。 针对给出的例子: ```plaintext 2 3 4 6 5 7 4 1 8 3 ``` 按照以上逻辑执行后会得出最优解路径为:2 -> 3 -> 5 -> 1 ,对应的最小路径为 11。
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