P10723 [GESP202406 七级] 黑白翻转 题解

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洛谷题解

题目大意

给出一颗无根树，每个节点都为白色或黑色。求至少需要将多少白色的结点变成黑色，使得删除完所有白点后，剩余的黑点可构成一棵树。

思路讲解

由于黑点不可变为白点，所以删点后的树中必然包含所有原来为黑色的结点，所以我们可以任取一个黑色的结点作为删点后的树和原来的树的根节点。

因为删点后只能剩下一棵树，所以所有黑点和根节点的路径中包含的所有的点必需为黑色。也就是说如果一个白点在一条黑点与根节点间的路径中，则必需将这个白点变为黑色。

于是我们可以对这颗树进行 dfs。创建一个返回值类型为 bool 的函数 dfs(x)。如果 dfs(x) 的返回值为 true，则节点 $x$ 所包含的子树中至少有一个黑色的结点，否则返回 false，即子树中没有黑色的结点。

这样我们遍历时，如果一个结点的直接连接的深度比该点大的点中的 dfs 值为 true，则说明存在一条黑点与根节点的路径，包含该节点。如果发生这种情况，我们需要将返回值定为 true，如果该点为白色，则再将这个白点变为黑色，并让答案加 $1$。

如果点 $x$ 为黑色或出现上一段出现的情况，则函数 dfs(x) 返回的值为 true，否则为 false。

这里需要注意的是，即使我们确定了返回值，也不能直接返回返回值结束函数。只有遍历完后返回，才能得到正确答案。

算法复杂度为