Public Round #2-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/andyc_03/article/details/124125626

本文介绍了如何使用递归和动态规划解决二维区域填充问题，以及利用树状数组进行高效查询和更新。针对不同情况，分析了不同的解题策略，包括暴力解法、优化策略和复杂度优化。最后展示了不同阶段的代码实现，从最简单的暴力搜索到高效的树状数组解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

A

在这里插入图片描述

分析

发现一个省只能有两种形态：一种是2*2的正方形，另一种是绕着矩形的最大边界的一整圈
所以，n和m一定均为偶数，且一个省最少有4个市，否则就得是12个了围一圈的情况，k最小的话就全部按照一圈一圈的围绕
那么有限制 $max{n,m}2≤k≤nm4且k≠nm4−1\frac{max\{n,m\}}{2} \le k \le \frac{nm}{4} 且 k \ne \frac{nm}{4}-1$ ，且当n=m时， $\ne \frac{max\{n,m\}}{2}+1$ 至少多两个

有了以上的判定条件，我们可以每次选择对于当前的矩形选择绕外周一圈/填上两行/填左两列，然后递归解决剩下的子矩形即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+5;
int T;
vector <int> a[maxn];
bool ok(int n,int m,int k)
{
    if(n&1 || m&1) return false;
    if(k<max(n,m)/2 || k>m*n/4 || k==m*n/4-1) return false;
    if(n==m && k==n/2+1) return false;
    return true;
}
void solve(int l,int r,int u,int d,int k)
{
    if(l>r || u>d) return;
    if(ok(d-u-1,r-l-1,k-1))
    {
        for(int i=l;i<=r;i++) a[u][i]=a[d][i]=k;
        for(int i=u;i<=d;i++) a[i][l]=a[i][r]=k;
        solve(l+1,r-1,u+1,d-1,k-1);
        return;
    }
    if(ok(d-u-1,r-l+1,k-(r-l+1)/2))
    {
        for(int i=l;i<=r;i++) a[u][i]=a[u+1][i]=k-(i-l)/2;
        solve(l,r,u+2,d,k-(r-l+1)/2);
        return;
    }
    if(ok(d-u+1,r-l-1,k-(d-u+1)/2))
    {
        for(int i=u;i<=d;i++) a[i][l]=a[i][l+1]=k-(i-u)/2;
        solve(l+2,r,u,d,k-(d-u+1)/2);
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n,m,k;
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
        if(!ok(n,m,k))
        {
            printf("NO\n");
            continue;
        }
        printf("YES\n");
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i].resize(m+1);
        solve(1,m,1,n,k);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++) printf("%d ",a[i][j]);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

B

在这里插入图片描述

分析

对于每次询问，先二分答案，然后利用主席树去模拟，时间复杂度上界 $O(qnlog^3n)$
但是由于十分不满，竟然能有85pts，甚至调到5s的话能过。。

暴力代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=4e5+5;
int a[maxn],c[maxn],cnt;
ll sum[maxn];
int n,q,ql,qr;
ll k;
int rt[maxn],tot;
struct seg
{
    int ls,rs,v;
    ll tot;
}tr[maxn<<5];
#define lson tr[u].ls
#define rson tr[u].rs
void insert(int &u,int lst,int l,int r,int pos)
{
    u=++tot;
    tr[u]=tr[lst];
    tr[u].v++; tr[u].tot+=c[pos];
    if(l==r)
        return;
    int mid=l+r>>1;
    if(pos<=mid) insert(tr[u].ls,tr[lst].ls,l,mid,pos);
    else insert(tr[u].rs,tr[lst].rs,mid+1,r,pos);
}
int kth(int u,int v,int l,int r,int siz)
{
    if(l==r) return c[l];
    int mid=l+r>>1;
    if(tr[tr[v].ls].v-tr[tr[u].ls].v>=siz) return kth(tr[u].ls,tr[v].ls,l,mid,siz);
    return kth(tr[u].rs,tr[v].rs,mid+1,r,siz-(tr[tr[v].ls].v-tr[tr[u].ls].v));
}
ll query(int u,int v,int l,int r,int L,int R)
{
    if(!u && !v) return 0;
    if(l>=L && r<=R) return tr[v].tot-tr[u].tot;
    int mid=l+r>>1;
    ll ans=0;
    if(L<=mid) ans+=query(tr[u].ls,tr[v].ls,l,mid,L,R);
    if(mid<R) ans+=query(tr[u].rs,tr[v].rs,mid+1,r,L,R);
    return ans;
}
ll ask(ll L,ll R)
{
    L=max(1ll,L); R=min(1000000000ll,R);
    if(L>R) return 0;
    L=lower_bound(c+1,c+cnt+1,L)-c;
    R=upper_bound(c+1,c+cnt+1,R)-c-1;
    return query(rt[ql-1],rt[qr],1,cnt,L,R);
}
bool check(int mid)
{
    ll val=kth(rt[ql-1],rt[qr],1,cnt,mid),lst=-1;
    ll init=val;
    while(val<sum[qr]-sum[ql-1])
    {
        ll tmp=val;
        val+=ask(lst-k+1,val-k)-(lst-k+1<=init && init<=val-k)*init;
        lst=tmp;
        if(tmp==val) return false;
    }
    return true;
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        c[++cnt]=a[i];
        sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    }
    sort(c+1,c+cnt+1);
    cnt=unique(c+1,c+cnt+1)-c-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=lower_bound(c+1,c+cnt+1,a[i])-c,insert(rt[i],rt[i-1],1,cnt,a[i]);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d%d%lld",&ql,&qr,&k);
        int l=1,r=qr-ql+2,ans=qr-ql+2;
        while(l<r)
        {
            int mid=l+r>>1;
            if(check(mid)) ans=mid,r=mid;
            else l=mid+1;
        }
        printf("%d\n",qr-ql+2-ans);
    }
    return 0;
}

来自jiangly的更优秀的解法：
在这里插入图片描述

C

在这里插入图片描述

分析

$O(nkR^2)$ 的暴力dp还是很容易得到30pts的

30pts代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,ll> PIL;
const int maxn=1005;
vector <int> G[maxn];
int n,k;
ll L,R,val[maxn];
int f[1005][51][205],siz[1005],tmp[51][205];
void dfs(int u,int fa)
{
    siz[u]=1; f[u][0][val[u]]=1;
    for(auto v:G[u])
    {
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        for(int i=0;i<=min(k,siz[u]);i++)
            for(int j=0;j<=R;j++)
            {
                tmp[i][j]=f[u][i][j];
                f[u][i][j]=0;
            }
        for(int i=0;i<=min(k,siz[u]);i++)
            for(int j=0;j<=R;j++) if(tmp[i][j])
            {
                //不删
                for(int I=0;I<=min(k-i,siz[v]);I++)
                    for(int J=0;J<=R-j;J++) if(f[v][I][J]) f[u][I+i][J+j]=1;
                //删除
                for(int I=0;I<=min(k-i-1,siz[v]);I++)
                    for(int J=L;J<=R;J++) if(f[v][I][J]) f[u][I+i+1][j]=1;
            }
        siz[u]+=siz[v];
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%lld%lld",&n,&k,&L,&R);
        for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear(),scanf("%lld",&val[i]);
        int x,y;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            G[x].push_back(y);
            G[y].push_back(x);
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<=k;j++)
                for(int t=0;t<=R;t++)
                    f[i][j][t]=0;
        dfs(1,0);
        for(int i=0;i<=k;i++)
        {
            int flag=0;
            for(int j=L;j<=R;j++) if(f[1][i][j]) flag=1;
            printf("%1d",flag);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

发现第三部分分的r-l较小，发现我们dp 的第三维只需要记录l-r之间的，所以可以用vector去维护可行的第三维的值，这样每个点就只有 $k * (r - l)$ 个状态要记录，总时间复杂度 $O(nk^2(r-l)^2)$

50pts代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,ll> PIL;
const int maxn=1005;
vector <int> G[maxn];
int n,k;
ll L,R,val[maxn];
int siz[maxn];
vector <ll> f[maxn][51],tmp[51];
ll gs[maxn];
void dfs(int u,int fa)
{
    siz[u]=1;
    for(int i=0;i<=k;i++)
        f[u][i].clear();
    f[u][0].push_back(val[u]);
    for(auto v:G[u])
    {
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        for(int i=0;i<=k;i++) tmp[i].clear();
        for(int i=0;i<=min(k,siz[u]);i++)
            for(int j=0;j<=min(k-i,siz[v]);j++)
                for(ll I:f[u][i]) for(ll J:f[v][j])
                    {
                        if(I+J<=R) tmp[i+j].push_back(I+J);
                        if(J>=L && J<=R && i<k) tmp[i+j+1].push_back(I);
                    }
        siz[u]+=siz[v];
        for(int i=0;i<=min(k,siz[u]);i++)
        {
            sort(tmp[i].begin(),tmp[i].end());
            int cnt=0;
            for(ll t:tmp[i]) gs[++cnt]=t;
            cnt=unique(gs+1,gs+cnt+1)-gs-1;
            f[u][i].clear();
            for(int j=1;j<=cnt;j++) f[u][i].push_back(gs[j]);
        }
    }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%lld%lld",&n,&k,&L,&R);
        for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear(),scanf("%lld",&val[i]);
        int x,y;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            G[x].push_back(y);
            G[y].push_back(x);
        }
        dfs(1,0);
        for(int i=0;i<=k;i++)
        {
            int flag=0;
            for(ll t:f[1][i]) if(t>=L && t<=R) flag=1;
            printf("%1d",flag);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

继续分析发现在这里插入图片描述

100pts代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,ll> PIL;
const int maxn=1005;
vector <int> G[maxn];
int n,k;
ll L,R,val[maxn];
int siz[maxn];
vector <ll> f[maxn][51],tmp[51],g;
void dfs(int u,int fa)
{
    for(int i=0;i<=k;i++)
        f[u][i].clear();
    f[u][0].push_back(val[u]);
    for(auto v:G[u])
    {
        if(v==fa) continue;
        dfs(v,u);
        for(int i=k;i>=0;i--)
        {
            g.clear();
            for(int j=0;j<=i;j++)
                for(ll I:f[u][i-j]) for(ll J:f[v][j])
                if(I+J<=R) g.push_back(I+J);
            sort(g.begin(),g.end());
            f[u][i].clear();
            for(ll v:g)
            {
                while(f[u][i].size()>1 && v-f[u][i][f[u][i].size()-2]<=R-L)
                    f[u][i].pop_back();
                f[u][i].push_back(v);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=k;i++)
        for(ll v:f[u][i-1])
            if(v>=L && v<=R)
            {
                f[u][i].push_back(0);
                break;
            }
}
int main()
{
    freopen("a.in","r",stdin);
    freopen("a.out","w",stdout);
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d%lld%lld",&n,&k,&L,&R);
        for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear(),scanf("%lld",&val[i]);
        int x,y;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            G[x].push_back(y);
            G[y].push_back(x);
        }
        dfs(1,0);
        for(int i=0;i<=k;i++)
        {
            int flag=0;
            for(ll t:f[1][i]) if(t>=L && t<=R) flag=1;
            printf("%1d",flag);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}