1000！位数的估计

令1000！=a*10^N，其中0<a<10，则N为1000！的位数

lg(1000!)=∑(1-->1000)lg(i)=lg(a)+N

因为lg(a)为一个小于1的数，可忽略，下面估算N的值：

考虑1000以内的几个特殊数1,10,100,1000，有lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3

大于1小于等于10的数有9个，大于10小于等于100的数有90个，大于100小于等于1000的数有900个

lg(x)为凸的递增函数，则N的上限为9*1+90*2+900*3=2889

N的下限为1*90+2*900=1890

综上，1000！位数应大于2390，小于2889。

上述估算方法理论依据为积分中值定理：

如果函数 f(x) 在积分区间[a, b]上连续，则在 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立

∫ (a-->b)f(x) dx=f(ξ)(b-a), a≤ξ≤b

下面的解释转自 http://bbs.dlut.edu.cn/nforum/article/SchoGrad/182647

例如， 
m1=10^a1,表示有a1个10相乘，即1后面跟a1个零。 
m2=10^a2,表示有a2个10相乘，即1后面跟a2个零。 
m3=10^a3,表示有a3个10相乘，即1后面跟a3个零。 
... 
mn=10^an 
  
所以， 
m1*m2*m3*...*mn=10^(a1+a2+a3+...+an) 
  
注意到， 
10*10*10 = 10*10*10*1 是一个4位数，1是结果的最高位。 
  
进一步地，对于N进制乘法，应该有类似结论： 
k个N进制数相乘，结果（以N进制表达）的总位数应为每个因子的以N为底的对数之和取临近的最小整数再加1。 

下面的总结转自 http://www.cnblogs.com/ScorpioLove/archive/2007/01/11/617585.html

经过上述两个方法，我猜想求解一个数的位数可以求解该数对其基数的对数（此处是以 10 为基数的），找了几个数写了写，发现可以： 

一个以 b 为基数的数 N，在以 b 为基数的计数系统中的位数 l，可以通过求 N 对 b 的对数求得。
具体为：l=floor[log b (N) + 1]，即求对数，结果加 1 后向下取整。