称球问题的通用解法

最近看了个算法题 据说还是google面试题之一，大意是：八个球已知其中有一个是偏重的，问最少几次称出来？

之前我在网上还有个更难的，大意是：13个球已知其中有一个重量异常（重或者轻），给一个天平3次称出那个异常球。

 

仔细想想 其实这两个题目是有紧密联系的。13球问题的解答需要用到8球问题的解法。

先看看 8球与13球问题的解法：

 

8球：

先将球8个球分成3堆：3，3，2的形式（3，3是代表在天平两端的球数）。

1、称一次找出重的一边（平衡就只要再称剩下两个中重的一个即可，2次搞定）；

2、重的一边三个球，取出两个称：如果平衡则是另一个，不平衡就是重的那个（2次搞定）。

所以，8个球出重的一个球需要两次。

 

13球：

把球分成三堆：4，4，5的形式。（5，5，3的分法需要4次）。

 

1、平衡将5个球分成两堆（2，3）；

1.1、将分好的三个球替换天平上任意一端得三个球；

1.2、查看天平状态，如果发生偏移则说明异常球就在这三个中，而且可以知道是轻还是重；如果没有发生偏移则说明在另外两个球中；

1.2.1、如果在三个球中间，且知道轻重，则任意取两个球再称一次就能找出异常球；

1.2.2、如果在两个球中不知道轻重，则取正常球一个，再在两个球中任意取一个称；如果平衡则是两个球中的另一个；如果不平衡则是除去正常球以外的另一个；

平衡的情况只要称三次。

 

2、不平衡则在5个正常球中取三个与天平上重的一侧（轻的一侧也行）的4个球中的3个交换

 ；然后将重的一侧4个球中没有交换的一个球与轻的一侧的4个球中任意一个互换；再称；

这个时候可能出现3种状态：（注意重的一侧的球全部发生了交换！）

2.1、天平保持不变：则说明异常球在天平轻的一侧的没有被交换的3个球之中；这样就再称1次便可找出异常球；

2.2、天平平衡：则说明异常球在换下天平的三个球中；而且是重球，这样再称1次就能解决；

2.3、天平发生倾覆：则说明异常球在左右互换的两个球中，而且不知道异常球的轻重；这个时候可以取两个球中的一个与一个正常球称；如果平衡则是两个球中的另一个球；如果不平衡则是正常球以外的另一个。

所以可以看出两种情况都最多只要3次就能搞定。

 

那么有什么联系吗？

1、称13个中异常的时候在第一次称不平衡的条件下，互换的过称实际上是将球的轻重做了区分（因为天平两边的交换其实只铁定只要再称一次便可）；将异常球的轻重得出来而且锁定了范围。这时，问题就退化为“8球问题”了；

2、如果天平平衡，则异常球肯定在天平下的剩余的球。这个时候将剩下的球分半，一半与天平上的正常球交换，一半不动。其实是一种变形的“13球”问题。因为，分半以后跟交换以后的正常球正好变异成一个球数为(N/2上取整+1)个球的新“13”球问题的称完一次时的情况。（将分开的球看做天平两边不平衡的两端，交换下来的球看着做天平下的正常球！）

而且肯定称的次数会比(N/2上取整+1)少1次，所以这样一来这种情况的称数是：1+(Recusive F(N/2上取整+1)个球的次数-1)次=F（N/2上取整+1）-F（N）为计算13球问题的函数。根据常识，F（N）>=F（N/2上取整+1）。所以其实这种情况是可以不考虑的！

综合1，2可以看出，13球问题其实是分组处理以后的8球问题。

 

这一来可以得出解N个球中称出一个异常球的通用解法：

将N个球分成3堆，保证形成M,M,M或者M+1,M+1,M或者M,M,M+1的分法（肯定是可以的，因为任何数除3余数只能是0，1，2，对应上面三种情况。因为这样能保证重的那边或者轻的那边的球都被交换掉！）。

令解“8球”问题的函数为F（X）；则解N球1个异常球的方法是G（x）=2+F（M）。F（X）是一个递归函数，每一步都是贪心的。（加2表示做F（）之前其实已经称了2次了）

这样一来G（x）=2+F（M）很简单的形式，解决了复杂的问题。