称球问题

称球问题一般会有以下3种情况： 
1、M个球，其中有一个坏球，知道是轻还是重，用天平称出坏球来。 
2、M个球，其中有一个坏球，不知是轻还是重，用天平称出坏球来。 

3、M个球，其中有一个坏球，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，并告知坏球是轻还是重。 

现在要问对于上面3种情况，称k次，最多可以在几个球中找出坏球来？也就是要求出称k次的M的最大值来。
第1种情况，比较简单，1次可以称3个球，2次可称9个球，k次可以称3^k（3的k次方）个球。

第2种情况就比第1种情况复杂多了，对第3种情况，和第2种情况类似，知道了第2种的解法后，第3种自然也就解出来了。

任意个数球的称法
假设有足够正常重量球的情况下称k次可以从最多F(k)个球里找出不知轻重的坏球（称多次的情况下，称完第一次就会有若干正常重量的球了），现在来计算称k+1次的F(k+1)最大可以到多少，在有足够正常重量球的情况下，0次可以称出1个球，1次可以称出2个球。因此F(0)=1，F(1)=2。
按照测试用例设计的元素分析法，先找出其中的元素：天平，若干球
先分析一下这些元素的属性，天平有两端托盘可以放东西，可以根据天平平衡情况判断天平两端放的东西重量是否相等。球的属性主要是重量，正常球重量都相等，坏球重量和正常球不相等。
再用测试用例设计的分类推理法来进行分类，按球的属性是无法分类的，因为每个球的重量都不知道，因此按天平属性来进行分类，可以将球分为三类，放在天平左端托盘中的，放在天平右端托盘中的，没有放入天平托盘的。
任何一个球最终都可以归结到上面分成的三类中，不论将球分成多少堆，最终都可以将其看成只有三堆，一堆要放入天平左端托盘中，一堆要放入天平右端托盘中，一堆不放入天平托盘中。所以分成了X，Y，Z三堆（某堆可以为空）可以看成是唯一的分法。

将F(k+1)个球分成X，Y，Z三堆，先将X，Y放入天平的两端称一下，由于对成性，只需要考虑两种情况：

1、X和Y一样重

此时只要在Z堆中找出坏球就可以了，Z=F(k)。

2、X比Y重
在称完第1次后，此时可以再次使用元素分析法，找出四个元素：天平，X，Y，Z
和前面一样可以采用分类推理法根据天平元素的属性将X分成X1，X2，X3；Y分成 Y1，Y2，Y3；Z分成Z1，Z2，Z3。由于对称性，可以按以下进行放置：
天平左端放置 X1，Y1，Z1
天平右端放置 X2，Y2，Z2
设G(k) = X+Y
当X1+Y1+Z1 比 X2+Y2+Z2重时，无法判断是Y2中有坏球还是X1中有坏球，由于对称性，可以假定Y2为0（球个数为0），那么就可以判断出X1中有坏球，且坏球比正常球重，此时X1+Y2=3^(k-1) 。如果X1和Y2都不为0时，可以得到X1+Y2=G(k-1)。
当X1+Y1+Z1 和 X2+Z2重量相等时，表明坏球在X3+Y3+Z3中，由于此时无法判断坏球是在X3还是Y3中，如果令其中一个为0，那么另一个则为已知重量情况下称k－1次的最大个数，因此X3+Y3最大值为3^(k-1)，如果不为0，则X3+Y3=G(k-1)。
当X1+Y1+Z1 比 X2+Z2轻时，由于此时无法判断坏球是在Y1还是X2中，并且X2比Y1重，这和X比Y重的情况是一样的，那么可以得出X2+Y1＝G(k-1)或者3^(k-1)
这时有G(k) ＝ X+Y = 3^k
或者G(k) ＝ X+Y = 3×G(k-1)

对后面那个等式，可以求出G(k) ＝ 3^(k-1)×G(1) ，由于G(1)的最大值不可能超过3

综合上面两种情况，G(k)取最大值3^k
由于Z堆中球的最大个数是在X和Y一样重的情况下来求解的，因此这里Z1，Z2，Z3中的球的个数并不重要，前面已经讲过 Z = F(k)
这样可以得到F(k＋1) = X+Y+Z = X1+X2+X3+Y1+Y2+Y3+Z
= F(k) +G(k)
=F(k) + 3^k

解出F(k) = (3^k －1) / 2 ＋F(1) - (3 - 1)/2 = (3^k －1) / 2 ＋1

这样求出了有足够标准球情况下称k次可以称出的最大值，在没有标准球的情况下，由于称2次只能称4个球，比有标准球时少一个，因此可以得出称k次可以称出的最大值为max（k）＝(3^k －1) / 2。
这样3次可以称出13个球，4次可以称出40个球….。
 
根据以上的推理过程，可以得出以下的称法：
2次称5个球的称法（有标准球参照,F(2) = F(1)+3 = 2+3 = 5）
有标准球时2次称5个球的称法
将球编号为1，2，3，4，5，标准球记为S
将1，2放入天平的一端，3，S放入天平的另一端
如果1，2 比3，S重，表明坏球在1，2，3中，此时将1，2放入天平两端称一下，如果重量相等则3为坏球，如果不相等则重的那个是坏球。
同理如果1，2比3，S轻时，将1，2放入天平两端称一下，相等则3为坏球，不相等则轻的那个为坏球。
如果1，2和3，S一样重，表明坏球在4，5里面，取4和S一起称一下，相等则5为坏球，不相等则4为坏球。
 
3次称13个球的称法（无标准球做参考）
将球分为（1，2，3，4），（5，6，7，8），（9，10，11，12，13）三组
将（1，2，3，4）和（5，6，7，8）放入天平两端称一下
如果重量相等则转换为有标准球做参考在（9，10，11，12，13）5个球里找坏球的问题，上面已经给出了。
如果重量不等，由对称性不妨设1，2，3，4为重的一端
将（1，5，6，7）和 （8，9，10，11）一起称一下
如果（1，5，6，7）重，则表明坏球在1或8里面，只要拿一个标准球和1或8称一下就可以找出坏球
如果两边一样重，那么坏球在2，3，4里，且坏球为重球，称一次就可以称出
如果（1，5，6，7）轻，那么坏球在5，6，7里面，且坏球为轻球，称一次就可以找出。