一条据递推式求复杂度的笔试题

1.       前几天在JULY的博客看到一条人搜的笔试题，说是根据递归式T(N)=N+T(N/2)+T(2N),求T(N)的复杂度估计。作为一个代码功底极差、各种基础知识搓爆的卢瑟，写的各种低级程序和知识归纳实在难以出手（内流满面），就以这道题作为我博客的第一篇吧。

        首先这个式子肯定是有问题的，T(N)=N + T(N/2)+T(2N)> T(2N)，那不就是一个递减的序列了？还求个球的复杂度。所以正确的式子应该是

              T(2N) =N+ T(N/2) + T(N)                                                                                *

        这个式子关联了T(2N)、T(N)、T(N/2)，似乎这是一句废话。但是注意到括号里面是等比序列，从数列递推式的经验得知，这个二阶式子可以表达成一个一阶式子线性组合相加的结果。

      具体来说，假设 T (N) 和 T (N/2) 的关系(善于联想是屌丝的某个属性……)，于是

1.            T(N) =αT(N/2) + βN                                                                                        (1)

         那么将2N代入，就有

               T(2N) =αT(N) + 2βN                                                                                       (2)

         为了凑成 * 式的形式，对(1)(2)式子进行线性组合，那么应该是(α-1)(1) +(2)，有

                T(2N) =(α-1) βN+ α(α-1) T(N/2)+T(N)                                                              (3)

          此时发现(1)式里的β参数纯属多余，写成O(N)得了（其实最后结果α = β）。那么*和(3)比对，有

                 α(α-1) = 1

        （特马还是斐波纳契数列的特征方程），解得α=(1+sqrt(5))≈ 1.62 < 2

          所以(1)式就是

                T(N) =αT(N/2) +O(N)

          因为logα<1，根据主定理，就有T(N) =O(N)。

   做完了感觉真蛋疼，也不知道出考题的人想考些什么……

    

   PS：重新看了下过程，感觉做得有点复杂了，把数列的特征方程重新发明了一遍，明显毫无必要，所以应该在开始的时候就做一个代换，令m = logN。然后就有了一个更蛋疼的解法：

                  T(2^m+1) = 2^m+1+T(2^m-1) +T(2^m)                                                                       (4)

         这J8式子，额……令F(m) = T(2^m) - 2^m+2，那么，

                 F(m+1) =F(m)+F(m-1)                                                                                       (5)

         于是F(m)就是斐波纳契数列了，直接写通项公式

                                                                                     (6)

         其中的参数α和β是由初始值决定的，α可能是负的。所以，

                                                                                      (7)

         然后，

                                                              (8)                   

          从(7)式就明白了这个题其实就是比较斐波那契数列和以2为公比等比数列的增长速度，我竟然蛋疼地求出了通项公式……其实尼玛估计直接画几笔就看出来了。还有，人搜很蛋疼，真心的。