题解 JZOJ 1353.渡河问题

题目描述

Farmer John以及他的N(1 <= N <= 2,500)头奶牛打算过一条河，但他们所有的渡河工具，仅仅是一个木筏。

由于奶牛不会划船，在整个渡河过程中，FJ必须始终在木筏上。在这个基础上，木筏上的奶牛数目每增加1，FJ把木筏划到对岸就得花更多的时间。当FJ一个人坐在木筏上，他把木筏划到对岸需要M(1 <= M <= 1000)分钟。当木筏搭载的奶牛数目从i-1增加到i时，FJ得多花M_i(1 <= M_i <= 1000)分钟才能把木筏划过河（也就是说，船上有1头奶牛时，FJ得花M+M_1分钟渡河；船上有2头奶牛时，时间就变成M+M_1+M_2分钟。后面的依此类推）。

那么，FJ最少要花多少时间，才能把所有奶牛带到对岸呢？当然，这个时间得包括FJ一个人把木筏从对岸划回来接下一批的奶牛的时间。

输入

第1行: 2个用空格隔开的整数：N 和 M

第2…N+1行: 第i+1为1个整数：M_i

输出

第1行: 输出1个整数，为FJ把所有奶牛都载过河所需的最少时间

思路讲解

前缀和$dp$。。。。

令：
$$a_i=\sum _{k=1}^i{M}_i+2M$$
$a_i$即运送$i$只奶牛并返程的代价。

设$f[i,j]$表示第$i$批运送之后，剩余$j$只奶牛的最少代价。

不难得到动态转移方程：
f [ i , j ] = min ⁡ 1 ≤ k ≤ n − j { f [ i − 1 , j + k ] + a k } f[i,j]=\min_{1\le k\le n-j}\{f[i-1,j+k]+a_k\} f[i,j]=1≤k≤n−jmin​{f[i−1,j+k]+ak​}
于是最终的答案为： min ⁡ { f [ i , 0 ] } \min\{f[i,0]\} min{f[i,0]}

但是这样做的时间复杂度极高，达到了$\mathcal{O}(n^3)$

想到状态与运送次数并没有关系，于是我们可以简化方程：设$f[i]$表示运送$i$只奶牛的最少代价即可。

于是：
f [ i ] = min ⁡ 1 ≤ j ≤ i − 1 { f [ i − j ] + a j } f[i]=\min_{1\le j\le i-1}\{f[i-j]+a_j\} f[i]=1≤j≤i−1min​{f[i−j]+aj​}
时间复杂度优化到了$\mathcal{O}(n^2)$，可以通过此题。
代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;
const int MAXN = 2501;
int N, M, j,a[MAXN], f[MAXN];

int main()
{
	freopen("river.in", "r", stdin);
	freopen("river.out", "w", stdout);
	scanf("%d %d", &N, &M);
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		scanf("%d", &j);
		a[i] = a[i - 1] + j;
	}
	for(int i = 1; i <= N; i++)
		a[i] += 2 * M, 
		f[i] = a[i];
	for(int i = 1; i <= N; i++) {
		for(int j = 0; j < i; j++)
			f[i] = min(f[i], f[i - j] + a[j]);
	}
	printf("%d", f[N] - M);
	fclose(stdin);
	fclose(stdout);
	return 0;
}