10、伪随机化信息论安全方案的评估技术

伪随机化信息论安全方案的评估技术

1. 定理 1 及随机化缩减中的应用

定理 1 指出，在特定设定下，对于任意 $x \in X$，若 $G$ 的区分器 $D_x$ 属于给定算法集合 $C$，且其复杂度受限于 $CM(D_x) \leq T$（$T$ 为常数），则有 $SD(D(G(USG)), D(UOG)) \leq (|X|/2) \cdot R(T)$。

证明过程基于 $G$ 在 $(M, C)$ 中是 $R(t)$ - 安全的这一性质，得出 $adv_G(D_x) \leq R(CM(D_x)) \leq R(T)$，进而得到上述不等式。当 $R(T)$ 相对于 $|X|$ 足够小时，$G$ 可作为一个非平凡伪随机生成器（nb - PRG），这意味着 $G$ 的种子长度足够长时能满足要求。

该定理在随机化缩减中有重要应用：
- 算法内部随机性缩减 ：对于有效算法 $F : X \to Y$，基于输出集 $OG = R$ 的 PRG $G$ 进行内部随机性缩减。通过交换 $X$ 和 $R$ 的角色，将 $F$ 视为 $F’ : R \to Y$，利用定理 1（$D = F’$）评估随机和伪随机情况下 $F$ 输出的统计距离。
- 协议中的随机化缩减 ：在保护与随机性无关元素的协议中，假设敌手接收的信息 $y \in Y$ 由随机元素 $r \in R$ 和秘密元素 $x \in X$ 通过有效算法计算得出。对于固定的 $x$，算法可表示为 $H_x : R \to Y$，利用定理 1（$D = H_x$）评估随机和伪随机情况下敌手所获信息的统计距离，此距离取决于 $|Y|$ 而