6、随机系统中的单调布尔输出、投影系统与自由启动区分

随机系统中的单调布尔输出、投影系统与自由启动区分

在随机系统的研究中，有几个关键的概念和方法对于理解系统的行为和性能至关重要。下面将详细介绍这些内容，包括系统的组合、单调布尔输出、投影系统以及自由启动区分等方面。

系统组合

• 随机函数组合 ：对于某些随机函数 (F)、(G) 以及 (I \equiv J \equiv R)，存在一种组合方式，即接收两个子系统的输入，然后使用 ⋆ 操作将它们的输出组合起来以确定自身的输出，这是一种针对随机函数的中和构造。
• 串行组合 ：对于一个 ((X, Y)) - 随机系统 (F) 和一个 ((Y, Z)) - 随机系统 (G)，(F▷G) 表示系统的串行组合。具体操作是，将 (F▷G) 的每个输入提供给 (F)，(F) 的输出作为 (G) 的输入，而 (G) 的输出就是 (F▷G) 的输出。这是一种针对置换 (F)、无状态置换 (G) 以及 (I \equiv J \equiv P) 的中和构造。

单调布尔输出与游戏

在随机系统中，我们特别关注那些输出包含单调位的系统。下面给出相关定义：
- 单调二进制输出（MBO） ：对于一个 ((X, Y \times {0, 1})) - 系统 (S)，其输出 ((Y_i, A_i)) 中的二进制分量 (A_i) 被称为单调二进制输出（MBO），如果 (A_i = 1) 意味着对于所有 (j > i) 都有 (A_j = 1)。为了方便，我们定义 (A_0 = 0)。
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