10、基于低秩理论的交通数据恢复系统研究

基于低秩理论的交通数据恢复系统研究

1. 交通数据矩阵的低秩特性分析

在交通数据处理中，对交通数据矩阵进行奇异值分解（SVD）分析是了解其特性的重要手段。对于站点A - D的交通数据矩阵，该矩阵代表了一个交通站点所有周的数据，且每行表示每周的数据。通过分析发现，奇异值主要集中在极少数元素上。例如，对于这四个站点，只有不超过2个奇异值远大于其他奇异值。

同时，在空间维度上对交通数据矩阵的低秩特性进行研究。此矩阵代表25个站点的交通流量，每行表示一个站点在不同时间的数据。研究表明，与时间维度类似，奇异值的权重在空间维度上也集中在少数元素上。

根据矩阵秩的定理，如果一个矩阵的奇异值权重仅集中在少数元素上，那么这个矩阵大致是低秩的。因此，从时间和空间维度来看，交通流量矩阵近似为低秩矩阵。

2. 基于低秩理论的精确交通恢复

基于低秩特性的实验分析，交通数据矩阵V在时空维度上近似为低秩矩阵。根据低秩理论定理，如果矩阵M大致为低秩，并且随机采样的元素数量足够大，就可以找到一个低秩决策矩阵Θ来近似替代V。

这样，原本的子问题就转化为低秩最小化问题：
[
\begin{align}
\min_{\Theta} rank(\Theta) \
s.t. \quad \Theta_{ij} = V_{ij}, (i, j) \in \Upsilon
\end{align}
]
其中，$rank(\cdot)$ 表示计算矩阵秩的函数，即非零奇异值的数量，$\Upsilon$ 是 $\Theta$ 和 $V$ 的索引对集合。由于 $rank(\cdot)$ 函数的组合性质，这