矿工挖矿问题

假设某地区有5座钻石矿，每座钻石矿的钻石储量不同，根据挖矿难度，需要参与挖掘的工人数量也不同。假设能够参与挖矿工人的总数是10人，且每座钻石矿要么全挖，要么不挖，不能只派出一部分人挖取一部分矿产。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的钻石，应该选择挖取哪几座矿产？

矿产编号	钻石储量	所需工人数量
1	400	5
2	500	5
3	200	3
4	300	4
5	350	3

方案：
m个工人，设第n个矿所需的工人为L[n]，能产钻石G[n]。在到达本矿需要人数前，产量等于前n-1各矿，F(n-1,m)
一，放弃第n个矿，产量为n-1个矿，F(n-1,m)
二，从m人中分出L[n]个人去处理第n个矿，产量为缺了L[n]个人的前n-1个矿的产量+第n个矿的产量，F(n-1,m-L[n])+G[n]
F(n,m)=F(n-1,m)  (n>1,m<L[n])
F(n,m)=max(F(n-1,m),F(n-1,m-L[n])+G[n])  (n>1,m>=L[n])

初始情况

矿产数量n	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10
1
2
3
4
5

在挖掘第一个矿产时，由于其所需的工人数量为5，所以当m 的取值小于5时，根据公式F(n,m)=0(n≤1,m<L[0])，获得的钻石数量均为0。

当m 的取值大于或等于5时，根据公式F(n,m)=G[0](n==1,m≥L[0])，钻石数量的取值为400。

这样就确定了边界条件。

挖第一个矿

矿产数量n	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10
1	0	0	0	0	400	400	400	400	400	400
2
3
4
5

在挖掘第2个矿产时，由于其需要5个人进行挖掘，因此当m 取值小于5时，根据公式F(n,m)=F(n-1,m)(n>1,m<L[n-1])，F(2,m)=F(1,m)=0；当m 取值大于或等于5时，根据公式F(n,m)=max{F(n-1,m),F(n-1,m-L[n-1])+G[n-1]}(n>1,m≥L[n-1])，在5～9人的区间里，获得的钻石数量为500，即所有人都去参加第2个矿产的挖掘时获得的钻石量。

这是因为当m∈{5,9}时，F(1,m)<F(1,m-5)+500，但人数只够挖掘1个矿产，故选择储量较大的矿产。而在参与人数上升为10人时，上式仍成立，但此时两个矿产可以同时挖掘，因此获得的钻石数量为900。

挖第二个矿

矿产数量n	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10
1	0	0	0	0	400	400	400	400	400	400
2	0	0	0	0	500	500	500	500	500	900
3
4
5

同理，在挖掘第3个矿产时，钻石产出量为200，需要的工人数量为3。

挖第三个矿

矿产数量n	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10
1	0	0	0	0	400	400	400	400	400	400
2	0	0	0	0	500	500	500	500	500	900
3	0	0	200	200	500	500	500	700	700	900
4
5

第4个矿产的钻石产出量为300，需要的工人数量为4。

挖第四个矿

矿产数量n	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10
1	0	0	0	0	400	400	400	400	400	400
2	0	0	0	0	500	500	500	500	500	900
3	0	0	200	200	500	500	500	700	700	900
4	0	0	200	300	500	500	500	700	800	900
5

针对第5个矿产的钻石产出量。

挖第五个矿

矿产数量n	m=1	m=2	m=3	m=4	m=5	m=6	m=7	m=8	m=9	m=10
1	0	0	0	0	400	400	400	400	400	400
2	0	0	0	0	500	500	500	500	500	900
3	0	0	200	200	500	500	500	700	700	900
4	0	0	200	300	500	500	500	700	800	900
5	0	0	350	350	500	550	650	850	850	900

根据以上思路，在用程序实现该算法的过程中，采用自底向上的方式进行计算，像填表过程一样从左至右、从上到下逐渐获得计算结果。这样，可以不需要存储整个表格的内容，仅需要存储前一行的结果，就可以推出下一行的内容，避免了重复计算。

代码：

def goldMine(n, m, g, L):
    t_results = [0 for _ in range(m + 1)]  # 保存上一行结果的数组
    for i in range(1, m + 1):  # 填充边界格子的值，从左向右填充表格第一行的内容
        if i < L[0]:  # 第一个矿
            t_results[i] = 0  # 若当前人数少于挖掘第一个金矿所需人数，黄金量为0
        else:
            t_results[i] = g[0]  # 若当前人数不少于第一个金矿所需人数，黄金量为g[0]
    for i in range(1, n):  # 外层循环为金矿数量
        results = [0 for _ in range(m + 1)]  # 保存返回结果的数组
        for j in range(1, m + 1):  # 内层循环为矿工数量
            if j < L[i]:  # 是否达到该矿所需人数
                results[j] = t_results[j]
            else:
                results[j] = max(t_results[j], t_results[j - L[i]] + g[i])
        t_results = results
    return t_results[-1]