0-1背包问题

假设有一个承重量为C的背包。现有n件物品，质量分别为w1,w2,…,wn，价值分别为v1,v2,…,vn，求让背包里装入的物品具有最大的价值总和的物品子集。和矿工挖矿问题类似，在选择装入物品时，对每种物品只有装入或者不装入两种选择。不能将同一个物品装入背包多次，也不能只装入该物品的一部分。

设物品i的质量为wi，价值为vi，1≤i≤n，则已知wi>0，vi>0， C>0。求n元向量{x1,x2,…,xn}，其中，xi∈{0,1}，0表示不选择该物体，1表示选择该物体。

可以把前i个物品中能够放进承重量为j的背包中的子集分为两种类别：

包括第i个物品的子集和不包括第i个物品的子集。

于是可以得到以下结论：

在不包括第i个物品的子集中，最优子集的价值是F(i-1,j)；

在包括第i个物品的子集中（j-wi≥0）​，最优子集是由该物品和前i-1个物品中能够放进承重量为j-wi的背包的最优子集组成。这种最优子集的总价值等于vi+F(i-1,j-wi)。

问题实例：设书包的最大承重量C=8

质量价值

参数	词典	篮球	球拍	书本
w	2	4	5	3
v	5	4	6	2

初始边界条件：

状态转移函数：

初始条件

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0
2	0
3	0
4	0

背包空间为m，设第i个物品所需的空间为w[i]，物品价值v[i]。在到达本物品需要空间前，价值等于前i-1个物品，F(i-1,j)
1，放弃第i个物品，总价值为i-1个物品，F(i-1,j)
2，从j空间中分出w[i]去处理第i个物品，总价值为缺了w[i]个空间的前i-1个物品的价值+第i个物品的价值，F(i-1,j-L[i])+v[i]
F(i,j)=F(i-1,j) (i>1,j＜w[i])
F(i,j)=max{F(i-1,j),F(i-1,j-w[i])+v[i]} (i>1,j≥w[i])

当只放第一个物品时，w(1)=2、v(1)=5。

第一个结果

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	5	5	5	5	5	5	5
2	0
3	0
4	0

加上第二个物品，w(2)=4、v(2)=4

第二个结果

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	5	5	5	5	5	5	5
2	0	0	5	5	5	5	9	9	9
3	0
4	0

加上第三个物品，w(3)=5、v(3)=6

第三个结果

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	5	5	5	5	5	5	5
2	0	0	5	5	5	5	9	9	9
3	0	0	5	5	5	6	9	11	11
4	0

加上第四个物品，w(4)=3、v(4)=2

i/j	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	5	5	5	5	5	5	5
2	0	0	5	5	5	5	9	9	9
3	0	0	5	5	5	6	9	11	11
4	0	0	5	5	5	7	9	11	11

代码：

def backpack_record(n, c, w, v):
    # 初始化记录表
    backpack_rec = [[0 for _ in range(c + 1)] for _ in range(len(n) + 1)]
    for i in range(1, len(n) + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            # 使用状态转移函数填写记录表
            if j < w[i - 1]:  # 承重量不足，放弃第i个物品
                backpack_rec[i][j] = backpack_rec[i - 1][j]
            else:
                backpack_rec[i][j] = max(backpack_rec[i - 1][j], backpack_rec[i - 1][j-w[i - 1]] + v[i - 1])
    return backpack_rec

在确定最优解之后，还需要确定是哪些选择构成了最优解。

根据状态转移函数，可以得到以下回溯方法。

（1）若F(i,j)=F(i-1,j)，则说明当前物品没有放到背包中，回溯到F(i-1,j)中。

（2）若F(i,j)=vi+F(i-1,j-wi)，则说明当前物品已经放到背包中，将该物品记录为组成最优解的元素，回溯到F(i-1,j-wi)。

（3）重复上述回溯过程，直到i=0，即可获得所有组成最优解的物品集合。

代码：

def backpack_results(n, c, w, res):
    print('可容纳最大价值为:', res[len(n)][c])
    x = [False for _ in range(len(n) + 1)]  # 判断是否装入
    j = c  # 背包承重量
    i = len(n)  # 物品数
    # 回溯
    while i >= 0:
        if res[i][j] > res[i - 1][j]:  # 大于同样承重i-1个物品，说明第i个物品有放入
            x[i] = True  # 确定装入
            j -= w[i - 1]  # w是从0开始的，去掉第i个物品的重量
        i -= 1  # 向下搜索
    print('选择的物品为:')
    for i in range(len(n) + 1):
        if x[i]:
            print('第', i, '个,', end='')
    print('')

输入：

输出：