硬币找零问题

硬币找零问题：假设需要找零的金额为C，最少要用多少面值为p1<p2<…<pn的硬币（面值种类为n，且假设每种面值的硬币都足够多）​？

贪心算法的基本原理是：遵循某种既定原则，不断地选取当前条件下最优的选择来构造每一个子步骤，直到获得问题最终的求解。即在求解时，总是作出当前看来最好的选择

贪心选择性质是指应用同一规则，将原问题变为一个相似的但规模更小的子问题，而后的每一步都是当前看似最佳的选择。这种选择依赖于已做出的选择，但不依赖于未做出的选择。从全局来看，运用贪心策略解决的问题在程序的运行过程中无回溯过程。贪心选择性质的证明一般采用数学归纳法，证明每一步做出的贪心选择确实能导致问题的整体（全局）最优解，也有基于算法的输出，或使用一种“拟阵”结构等形式的证明。

注意，贪心算法利用问题的贪心性质，简化了分解原始问题的过程，每次只关注在当前状态下可以获得的局部最优解，通过拼接各阶段的局部最优解获得最终问题的解。因为贪心选择可以依赖于以往所做的选择，但绝不依赖于未来所做的选择，也不依赖于子问题的解。故而贪心算法往往求解时与动态规划相反，采用自顶向下的方式，迭代作出贪心选择，不断化简问题规模。

问题实例：假设要找零8元，市面上有3种不同面值的硬币，各硬币的面值分别为1元、3元、4元。

可以先使用动态规划思路进行求解：

F(C)=min{F(C-pi)}+1,C>0且C≥pi

初始条件：F(0)=0

F(1)=min{F(1-1)}+1=1;

F(2)=min{F(2-1)}+1=2;

F(3)=min{F(3-1),F(3-3)}+1=1;

F(4)=min{F(4-1),F(4-3),F(4-4)}+1=1;

F(5)=min{F(5-1),F(5-3),F(5-4)}+1=2;

F(6)=min{F(6-1),F(6-3),F(6-4)}+1=2;

F(7)=min{F(7-1),F(7-3),F(7-4)}+1=2;

F(8)=min{F(8-1),F(8-3),F(8-4)}+1=2。

因此最少需要2枚硬币即可找零8元。

当使用贪心算法在计算的时候，从最大面值的硬币开始，直接得出答案2枚4元硬币。

注意，虽然贪心算法看似非常简便迅速，但是它不总是有效的。比如，当要找零6元时，它得到的答案是1枚4元硬币和2枚1元硬币，即最少3枚硬币。而动态规划得到的正确答案是2枚3元硬币。这个时候贪心算法不再适用，应选用动态规划等其他算法进行求解。

现在假设市面上有6种不同面值的硬币，各硬币的面值分别为5分、1角、2角、5角、1元、2元，要找零10.5元，求出最少硬币的数量。

从面值最大的硬币开始遍历：

需要5枚2元硬币，剩下0.5元。

再加1枚5角硬币。

一共6枚硬币。

def getChange(coins, amount):
    coins.sort()
    # 从面值最大的硬币开始遍历
    i = len(coins) - 1
    while i >= 0:
        if amount >= coins[i]:
            n = int(amount // coins[i])
            change = n * coins[i]
            amount -= change
            amount = round(amount, 2)  # 四舍五入到小数点第2位
            print(n, '枚', coins[i])
        i -= 1
    print()

输入：

输出：

输入：

输出：