64、优化算法与拉格朗日乘数法在约束优化中的应用

优化算法与拉格朗日乘数法在约束优化中的应用

在优化算法领域，有多种方法可用于解决不同类型的问题。其中，BFGS算法和共轭梯度法是两种重要的优化方法，而拉格朗日乘数法在约束优化问题中发挥着关键作用。下面将详细介绍这些方法的原理和应用。

1. BFGS算法与共轭梯度法

BFGS算法是一种共轭方向法，因为其搜索方向 $p_k$ 是A - 共轭的。当选择 $H_1 = I$ 时，BFGS算法实际上就变成了共轭梯度法。

准牛顿法的存储需求与变量数量呈二次方关系，这意味着随着变量数量的增加，存储需求会迅速增长。因此，准牛顿法通常只适用于较小规模的问题。而有限内存BFGS方法通过在计算近似Hessian逆矩阵时仅使用最近的 $l$ 次更新，减少了存储需求，其公式如 (A.5.35) 所示。

相比之下，纯共轭梯度法的内存需求仅与变量 $x$ 的维度呈线性关系。尽管这些算法最初是基于二次函数推导出来的，但最终的算法形式仅依赖于目标函数 $f$ 及其梯度，因此也可以应用于非二次函数。

2. 拉格朗日乘数法在约束优化中的应用

2.1 单约束情况

考虑在单个约束条件 $c(x) = 0$ 下最小化目标函数 $f(x)$ 的问题。假设已经找到一个满足约束条件的点 $x$，即 $c(x) = 0$。为了判断这个点是否能使 $f(x)$ 最小，我们只能在与约束条件一致的方向上搜索更小的函数值。

对于一个小的变化量 $\delta$，约束函数的变化近似为：
$c(x + \delta) \approx c(x) + \delta \cdot \nabla c(x)$ (A.6.1)