53、隐线性动态系统（SLDS）的平滑方法与重置模型

隐线性动态系统（SLDS）的平滑方法与重置模型

1. 高斯和滤波与平滑

在处理隐线性动态系统（SLDS）时，近似平滑后验分布 $p(h_t, s_t|v_{1:T})$ 比滤波更复杂，需要额外的近似处理。这是因为平滑需要满足更多假设才能使近似有效，因此更容易失败。

1.1 精确反向传递

根据RTS平滑递归方程，SLDS的精确反向传递公式为：
[p(h_t, s_t|v_{1:T}) = \sum_{s_{t+1}} \int_{h_{t+1}} p(h_t, s_t|h_{t+1}, s_{t+1}, v_{1:t})p(h_{t+1}, s_{t+1}|v_{1:T})]
其中，$p(h_{t+1}, s_{t+1}|v_{1:T}) = p(s_{t+1}|v_{1:T})p(h_{t+1}|s_{t+1}, v_{1:T})$ 由下一个时间步的平滑后验的离散和连续部分组成。递归从时间 $t = T$ 开始，此时滤波和平滑后验相同。然而，计算上述积分存在问题，因为条件分布项在 $h_{t+1}$ 上是非高斯的，且每一步混合分量的数量会增加。

1.2 近似递归

为了解决上述问题，我们从精确关系出发推导近似递归：
[p(h_t, s_t|v_{1:T}) = \sum_{s_{t+1}} p(s_{t+1}|v_{1:T})p(h_t|s_t, s_{t+1}, v_{1:T})p(s_t|s_{t+1}, v_{1:T})]
进一步可表示为：
[p(h_t, s_t|v_{1:T}) = \sum_{s_{t+1}} p(s_{t+1}|v_{1:T}) \langle p(h_t