18、决策与优化：从投资到强化学习

决策与优化：从投资到强化学习

在决策科学与优化领域，我们面临着各种各样的问题，从投资组合的选择到强化学习中的策略优化。本文将深入探讨这些问题，结合实际案例和代码，为你呈现决策过程中的关键概念和方法。

1. 投资决策案例分析

我们先来看一个投资的例子。假设有两种资产，一种是价值波动剧烈的风险资产，另一种是增长缓慢但稳定的资产。我们的目标是在时间 $t = 40$ 时达到财富值为 $1.5$。如果把所有钱都存入银行，显然无法达到这个目标，所以至少要将一部分财富投入风险资产。

在投资初期，股票市场表现不佳，我们的财富增长缓慢。但大约在 $t = 20$ 之后，股票市场有所起色，此时我们就不需要承担过多风险，可以将大部分资金存入银行，因为我们有信心能够实现投资目标。

这个案例体现了投资决策中的一个重要原则：根据市场情况和目标动态调整投资策略。

2. 部分可观测马尔可夫决策过程（POMDP）

在部分可观测马尔可夫决策过程（POMDP）中，存在一些不可观测的状态。这看似简单的扩展，却会带来计算上的难题。

考虑一个 POMDP 的例子，如图所示，在计算最优期望效用时，对隐藏变量的求和会将所有决策和观测联系起来，使得剩余的最大化操作不再具有简单的链式结构。对于长度为 $t$ 的 POMDP，这会导致一个复杂度为指数级的难解问题。

为了解决这个问题，我们可以将过去的所有决策和观测总结为对当前潜在状态的信念 $p(h_t|v_{1:t}, d_{1:t - 1})$。这意味着我们不再使用实际状态，而是使用状态的分布来表示当前的知识。这样就可以将其转化为一个基于信念分布的有效马尔可夫决策过程（MDP