10、核计算方法详解：从理论到实践

核计算方法详解：从理论到实践

1. 自然样条与最优解问题

在核计算中，自然样条是一个重要的概念。设 $r \in W_q[0, 1]$ 是一个具有节点 $x_1, \ldots, x_N$ 且最高阶为 $2q - 1$ 的自然样条，同时 $g \in W_q[0, 1]$ 满足 $g(x_i) = r(x_i)$（$i = 1, 2, \ldots, N$）。此时有：
$\int_{0}^{1} {r^{(q)}(x)}^2dx \leq \int_{0}^{1} {g^{(q)}(x)}^2dx$
而且，对于 $s := g - r$，其最高阶为 $q - 1$，并且当 $s(x_i) = 0$（$i = 1, 2, \ldots, N$）且 $N \geq q$ 时，函数 $s$ 为零。

由于最高阶为 $2q - 1$ 的自然样条具有 $N$ 个维度，所以存在一个 $r \in W_q[0, 1]$，使得它在 $N$ 个边界点 $x_1, \ldots, x_N$ 上与 $g$ 取值相同，即 $r(x_1) = g(x_1), \ldots, r(x_N) = g(x_N)$。在某些条件下，最高阶为 $2q - 1$ 的自然样条是最优的。

寻找在 $W_q[0, 1]$ 中使特定式子最小化的 $f$ 的问题，可转化为在一定范围内寻找解。若设 $g(\cdot) = \sum_{j = 1}^{N} \beta_j g_j(\cdot)$，则问题变为寻找 $\beta_1, \ldots, \beta_N$ 来最小化：
$\sum_{i = 1}^{N} {y_i - \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{N} \beta_