7、再生核希尔伯特空间中的Mercer定理及相关应用

再生核希尔伯特空间中的Mercer定理及相关应用

1. 引言

在数学分析和泛函分析中，再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS）是一个重要的概念。其中，Mercer定理对于理解积分算子和正定核有着关键作用。本文将详细介绍Mercer定理的证明、相关性质以及一些具体的应用实例。

2. 积分算子与相关性质

设((E, F, μ))是一个测度空间，积分算子核(K : E × E →R)是一个可测函数，且不一定是非负定的。若(\iint_{E×E} K^2(x, y)dμ(x)dμ(y))取有限值，则定义积分算子(T_K)为：
((T_K f)(·) := \int_{E} K(x, ·) f(x)dμ(x))
对于(f ∈L^2(E, B, μ))，有(|T_K f|^2 \leq |f|^2 \iint_{E×E} {K(x, y)}^2dμ(x)dμ(y))，这表明(T_K ∈B(L^2(E, B, μ)))，并且(|T_K| \leq (\iint_{E×E} K^2(x, y)dμ(x)dμ(y))^{1/2})。

假设(K : E × E →R)是连续的，且整个集合(E)是紧的（例如(E = [0, 1])），则积分算子核(K)是一致连续的。

以下是一些重要的引理和命题：
- 引理1 ：对于每个(f ∈L^2(E, F, μ))，(T_K f(·))是一致连续的。
- 证明 ：由于(E × E→R)是一致连续的，对于任意(x ∈E)和(\epsilon > 0