17、运筹学中的运输模型：非平衡、退化与最大化问题解析

运筹学中的运输模型：非平衡、退化与最大化问题解析

在实际的运筹学应用中，运输模型是一个重要的工具，用于解决物资从供应地到需求地的最优分配问题。然而，现实情况往往复杂多变，供应和需求并不总是平衡的，同时还可能遇到退化问题，甚至需要考虑最大化利润的情况。本文将深入探讨这些问题，并通过具体案例进行详细分析。

1. 非平衡运输模型

在现实场景中，供应和需求常常因生产约束或客户需求的变化而波动，导致运输模型出现不平衡的情况。解决这类问题的关键在于添加虚拟的供应中心或需求中心，使模型达到供需平衡。

1.1 供应大于需求的情况

以Musashi Auto Parts Michigan为例，由于生产约束，该制造商倾向于在订单下达前生产和储备成品汽车零部件。考虑到生产和需求约束，三个供应中心的最大产量分别为65,000、50,000和35,000单位，而三个目的地的需求是固定的。为了找到最可行的供应路线和最小的总运输成本，我们可以按照以下步骤进行：
- 步骤1：模型构建
- 定义变量：设$x_{ij}$为从供应中心$i$运输到需求中心$j$的单位数量，$b_i$为供应中心$i$的最大生产能力，$c_j$为目的地$j$的固定需求。
- 建立约束条件：需求约束为等式，供应约束为不等式。通过添加松弛变量将不等式转化为等式，松弛变量表示未使用的产能，对应虚拟需求中心的分配。
- 计算虚拟需求：虚拟需求等于总供应减去总需求。在这个案例中，虚拟需求为30,000单位。
- 构建最终运输模型：添加虚拟需求中心（D4）后，总供应等于总需求，模型变得可行。
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