13、线性规划中的对偶问题分析

线性规划中的对偶问题分析

1. 对偶问题的形成与基本概念

1.1 对偶问题的构建

对偶问题是线性规划中的重要概念。以一个标准的线性规划问题为例，若原问题是最大化问题，其对偶问题则为最小化问题。例如，原问题为：
Maximize (Z = 80x_1 + 40x_2)
Subject to:
(9x_1 + 4x_2 \leq 14)
(2x_1 + 7x_2 \leq 10)
(5x_1 + 10x_2 \leq 20)
(x_1, x_2 \geq 0)

其对偶问题为：
Minimize (Z = 14y_1 + 10y_2 + 20y_3)
Subject to:
(9y_1 + 2y_2 + 5y_3 \geq 80)
(4y_1 + 7y_2 + 10y_3 \geq 40)
(y_1, y_2, y_3 \geq 0)

1.2 原问题与对偶问题的关系

原问题和对偶问题在很多方面存在对应关系，具体如下表所示：
| 原问题 | 对偶问题 |
| — | — |
| 目标函数系数 | 目标函数系数 |
| 约束函数右侧值 | 约束函数右侧值 |
| 约束函数中变量系数 | 约束函数中变量系数 |
| 最大化目标函数 | 最小化目标函数 |
| 大于不等式 | 大于不等式 |
| 小于不等式 | 小于不等式 |
| 决策变量数量 | 决策变量数量 |
| 约束数量 | 约束数量 |

同时，根据对偶理论，原