23、形式语言不可比族的代数方法

形式语言不可比族的代数方法

1. 引言

L系统理论的出现催生了新的语言族类型，如全超AFL、全超(1)-AFL、拟群和预拟群等。研究这些语言族结构的一个重要工具是描述包含在某个语言族内的所有同类语言族的类别。从代数角度看，就是考虑某个代数的所有子代数类。

在泛代数中，给定代数A的子代数类Sa (A)构成一个代数格或紧生成格，其偏序为集合包含关系。因此，关于以下两个问题具有格论性质：
- 存在包含给定真子代数B的A的最大或最大真子代数。
- 存在与给定子代数B在Sa (A)中不可比的A的最大或最大子代数。

本文在代数格层面研究这些问题，特别是针对代数格Sa (A)，然后将结果应用于形式语言理论，即取A为所有语言的族。这样，只需在格论和泛代数的抽象层面证明某些结果一次，而无需为每个略有不同的运算集修改论证。

2. 代数格与泛代数

首先回顾一些基本定义以确定符号和术语。一个非空偏序集(S, ≤)中的元素s是最大的，如果对于S中的每个t，s ≤ t意味着s = t；元素s是S的最大元素，如果对于所有t ∈ S，t ≤ s。偏序集可能有多个最大元素，但最多有一个最大元素。有时会用到选择公理的等价形式佐恩引理：如果非空偏序集中的每个链都有上界，那么这个集合有最大元素。

• 格的基本概念
  • 格L是一个非空集合，配备两个二元运算∨（并或最小上界）和∧（交或最大下界），它们都是结合的、交换的、幂等的，并且满足吸收律：a ∧ (a ∨ b) = a和a ∨ (a ∧ b) = a。格L通过≤偏序，对于所有a, b ∈ L，a ≤ b当且仅当