「学习笔记」初赛中的排序与主定理

排序

稳定性的含义：如果数组中存在两个不同位置元素$x=y$，排完序后原来的$x,y$的相对位置发生了改变，则称这种排序是不稳定的（发生无意义的变换）.

排序算法	最坏复杂度	平均复杂度	是否稳定
插入排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	稳定
选择排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	不稳定
冒泡排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	稳定
快速排序	$O(n^2)$	$O(n\log n)$	不稳定
归并排序	$O(n\log n)$	$O(n\log n)$	稳定
堆排序	$O(n\log n)$	$O(n\log n)$	不稳定
基数排序	$O(d(r+n))$	$O(d(r+n))$	稳定

基数排序中的$r$表示基数，$d$表示位数.

$RadixSort$：

#include <cstdio>

const int MAXN = 1e5 + 10;
const int r = 13;

int n, cnt[r], a[MAXN], t[MAXN];

void radix_sort() {
	int maxa = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		if(maxa < a[i]) maxa = a[i];
	int d = 1, w;
	for(; d <= maxa; d *= r) {
		for(int i = 0; i < r; i ++) cnt[i] = 0;
		for(int i = 1; i <= n; i ++) {
			w = a[i] / d % r;
			++ cnt[w];
		}
		for(int i = 1; i < r; i ++) cnt[i] += cnt[i - 1];
		for(int i = n; i; i --) {
			w = a[i] / d % r;
			t[cnt[w] --] = a[i];
		}
		for(int i = 1; i <= n; i ++) a[i] = t[i];
	}
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		scanf("%d", &a[i]);
	radix_sort();
	for(int i = 1; i <= n; i ++)	
		printf("%d%c", a[i], " \n"[i == n]);
	return 0;
}

$QuickSort$：

#include <cstdio>

const int MAXN = 1e5 + 10;

void swap(int & a, int & b) {
	if(a ^ b) a ^= b ^= a ^= b;
}

int n, a[MAXN];

void qsort(int l, int r) {
	if(l >= r) return ;
	int mid = a[l + r >> 1], i = l, j = r;
	do {
		for(; a[i] < mid; ++ i) ;
		for(; a[j] > mid; -- j) ;
		if(i <= j) swap(a[i ++], a[j --]);
	} while(i <= j) ;
	qsort(l, j);
	qsort(i, r);
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		scanf("%d", &a[i]);
	qsort(1, n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)	
		printf("%d%c", a[i], " \n"[i == n]);
	return 0;
}

主定理

这里大概介绍一下主定理，符号和语言可能不严谨.

如果某算法的计算时间可以用一下递推式表示：$$T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n)$$

多项式大于感性理解为：它们的商大于一个多项式。即$\exists e>0,e\in R$,使得$f(x)>g(x)\ast n^e$

例如$n^{1.1}>n$,但是$n̸<n\log n$.

(1) 若$f(n)<n^{{\log }_b^a}$,则$T(n)=O(n^{{\log }_b^a})$

(2) 若$f(n)=n^{{\log }_b^a}$,则$T(n)=O(n^{{\log }_b^a}\log n)$

(3) 若$f(n)>n^{{\log }_b^a}$,则$T(n)=O(f(n))$

例1（NOIP 2017 提高组初赛）：$T(N)=2T(\frac{N}{2})+N\log N$，则时间复杂度为：

$f(n)=N\log N$，$N^{{\log }_b^a}=N$，$N\log N=N$，因此$T(N)=O(N{\log }^{2}N)$.