三个枪手问题

笔试碰到的一道逻辑题：      

三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用枪进行一次决斗。甲的命中率是30％，乙比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是丙，他从不失误，命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：甲先开枪，乙第二，丙最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？

分析此问题必须有个前提，他们三个人都是理性的，会采取对于自己最有利的方案。

先分析丙，如果甲乙都活着丙一定会先射乙，因为乙的命中率比甲高。

所以对于乙，在甲丙间乙一定会先射丙。

对于甲来说，可以选择射丙，或者放空枪，不会选择射乙（如果射中了丙就会射甲）。

第一种情况，甲选择射丙：

P(甲射死了丙和乙)=0.3*0.5*0.3+0.3*0.5*0.7*0.5*0.3+...+0.3*（0.5*0.7）^（n-1）*0.5*0.3=9/130（n取无限大得到近似值）

P(甲射死乙乙射死丙)=0.7*0.5*0.3+0.7*0.5*0.7*0.5*0.3+...+0.7*0.5*（0.7*0.5）^(n-1)*0.3=21/130（n去无限大得到的近似值）

P(甲活下来)=P(甲射死了丙和乙)+P（甲射死了乙乙射死了丙）=3/13

第二种情况，甲选择放空枪：

P(甲活下来)=0.5*0.3+0.5*0.7*0.5*0.3+...+0.5*(0.7*0.5)^(n-1)*0.3=5/13

所以甲会选择放空枪。

根据上面分析，甲会选择放空枪，乙会选择射丙，如果丙或者丙会射乙。每个人存活的概率如下：

P(甲)=5/13

p(乙)=0.5*0.7*0.5+0.5*0.7*0.5*0.7*0.5+...+0.5*(0.7*0.5)^(n-1)*0.7*0.5=7/26

P(丙)=0.5*1*0.7*1=0.35

所以甲（0.38）>丙（0.35）>乙（0.27）