luogu-P4017

知识点总结：P4017 问题解析和解法

问题描述：在一个有向无环图（DAG）中，求从所有入度为 0 的节点出发，到达所有出度为 0 的节点的路径总数，并将结果对 $80112002$ 取模。

1. 动态规划状态说明（DP 状态说明）

在这个问题中，我们可以使用拓扑排序 + 动态规划的方法进行求解。

• 状态定义：定义 dp[i] 为从某一个入度为 0 的节点出发，到达节点 i 的路径数。
• 初始状态：对于所有入度为 0 的节点 i，初始化 dp[i] = 1，因为每个入度为 0 的节点自身可以作为路径的起点，路径数为 1。

2. 递推公式

• 遍历每条有向边 (u, v)（从节点 u 到节点 v），我们可以将从 u 到 v 的路径数累加给 v，即：
  $$dp[v]=(dp[v]+dp[u])\mathrm{mod}80112002$$
• 该公式的含义是：到达节点 u 的路径数可以通过有向边传递给节点 v，从而更新节点 v 的路径数。

3. 代码实现

根据上述思路，代码实现如下：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 5e5 + 5;
const int MOD = 80112002;

struct Edge {
    int to, next;
} edge[N];
int head[N], cnt = 0;
int dp[N], indegree[N], outdegree[N];

// 边的添加函数，构建邻接表
void addedge(int a, int b) {
    edge[cnt].to = b;
    edge[cnt].next = head[a];
    head[a] = cnt++;
    indegree[b]++;   // 更新入度
    outdegree[a]++;  // 更新出度
}

int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;

memset(head, -1, sizeof(head)); // 初始化 head 数组为 -1

int a, b;
    // 构建图
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        cin >> a >> b;
        addedge(a, b);
    }

// 初始化所有入度为 0 的节点的 dp 值为 1
    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (indegree[i] == 0) {
            dp[i] = 1;
            q.push(i); // 将入度为 0 的节点入队
        }
    }

// 拓扑排序 + 动态规划
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();

// 遍历节点 u 的所有邻接节点 v
        for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
            int v = edge[i].to;
            dp[v] = (dp[v] + dp[u]) % MOD; // 更新路径数
            indegree[v]--;                 // 减少 v 的入度
            if (indegree[v] == 0) {        // 如果 v 的入度为 0，加入队列
                q.push(v);
            }
        }
    }

// 计算所有出度为 0 的节点的 dp 值之和
    int result = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (outdegree[i] == 0) {
            result = (result + dp[i]) % MOD;
        }
    }

cout << result;
    return 0;
}

解释

• 邻接表构建：通过 addedge 函数将所有边存入邻接表，同时更新每个节点的入度和出度。
• 拓扑排序和动态规划：利用拓扑排序从入度为 0 的节点开始遍历每个节点，将路径数递推到下一个节点。在 dp[v] = (dp[v] + dp[u]) % MOD; 中，用动态规划记录路径数，防止重复计算。
• 结果计算：最后，遍历所有出度为 0 的节点，累加它们的 dp[i] 值，得到所有路径数的总和。

总结

这道题利用了拓扑排序和动态规划，避免了多余的计算，将 DAG 中的每条路径进行计数。通过这种方法，可以高效求出从所有入度为 0 的节点到所有出度为 0 的节点的路径总数。