学习笔记（空间滤波器——锐化）

空间滤波器——锐化

1 锐化原理

1.1 图像灰度微分的定义

为了描述图像的锐化，定义图像灰度的一阶微分和图像灰度的二阶微分。
图像灰度在坐标 $x$ 的一阶微分：表示坐标 x 处相邻像素的灰度变化速度，其数学表达式为
$$\frac{\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x)$$
图像灰度在坐标 $x$ 的二阶微分：表示坐标 x 处相邻像素的灰度变化加速度，其数学表达式为
$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x)$$
其中，$x$ 表示坐标，$f(x)$ 表示坐标 $x$ 处的灰度值。

1.2 图像灰度的一阶微分和二阶微分

在图上取一条线段，假设线段包含10个点（坐标从$x_0$ 到 $x_9$），其对应灰度值如下图所示。

以 坐标 $x_4$ 为例，坐标 $x_4$ 的图像灰度一阶导数表示的是坐标 $x_4$ 处相邻像素的灰度变化速度，即
从坐标 $x_4$ 到下一个坐标 $x_5$ 的灰度变化值

数学表达式为
$$\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=x_4}=f(x_5)-f(x_4)$$
依此关系计算所有点的一阶导数。需要说明的是，由于一阶导数是由当前点的灰度和当前点的下一个紧邻点的灰度计算产生的，最有一个点 $x_9$ 没有一阶导数，因为它没有下一个紧邻点。

以 坐标 $x_4$ 为例，坐标 x 4 x_4