[hdu 3398]String 数论

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3398

题意为给定n,m,求由n个1和m个0构成满足所有前缀字符串中1的次数均不小于于0的次数的字符串的个数。

讨论了很多方法最后用到了数形结合

参考这一篇http://blog.youkuaiyun.com/abcjennifer/article/details/5922270

①：我们设初始在坐标系的原点(0,0)，从字符串第一位开始，碰到一个0就向上走，碰到一个1就向右走，那么由n个1、m个0组成的字符串最后必定走到(n,m)点，即满足由n个1、m个0组成的字符串的个数为C(n+m,n) = C(n+m,m) (满足n+m长度内n个长度走1或者m个长度走0)。

②：对于任意前缀中1的个数不少于0的个数的字符串的个数这个条件，可以看成是坐标系中，从(0,0)点走到(m, n)点，并且跟y=x-1这条直线不相交的方案数。又因为(0,0)点关于直线y=x-1的对称点是(1,-1)，而从(1,-1)点走到(m, n)点的所有方案一定都会与直线y=x-1相交，对于这些方案，将从(1,-1)点到与y=x-1的第一个交点之间的路径关于y=x-1对称翻转过去，就可以得到所有不满足题意的从(0,0)点走到(m, n)点的方案，于是最终答案就是C(n+m, n)-C(n+m,n+1)。

直接算两个C采用质因数分解的方法依然TLE，想到用一个公式替代。

ans=(m+n)!*(m-n-1)/((m+1)!*n!)

另外结果是用质因数的个数表示的，也要先对m-n+1做一次质因数分解，以防除不尽的情况出现导致WA

其中对于n!的质因数分解

n!中含有质因数k的个数为 n/k+n/k^2+n/k^3…… （每项取整，直至n/k^i=0）

代码如下 效率不高有待优化

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#define mod 20100501

using namespace std;
long long  i,o,p,j,k,l,n,m,t,r; 
long long  a[2000005];
long long  b[200000]; 
long long  c[2000005];

long long cal(long long m,long long n)
{
    l=(m+1-n);
    for (i=1;i<=o&&c[i]<=m+n;i++)
    {
        p=m+n;
        while (p) 
        {
            p/=c[i];
            b[i]+=p;
        }
    }
    
    for (i=1;i<=o&&c[i]<=1+m;i++)
    {
        p=1+m;
        while (p) 
        {
            p/=c[i];
            b[i]-=p;
        }
    }
    
    for (i=1;i<=o&&c[i]<=n;i++)
    {
        p=n;
        while (p) 
        {
            p/=c[i];
            b[i]-=p;
        }
    }
    for (i=1;i<=o;i++)
        while (l%c[i]==0)
        {
            b[i]++;
            l/=c[i];
        }
    for (i=1;i<=o;i++)
    if (b[i]>0)
    {
        k=c[i];
        while (b[i])
        {
            if (b[i]%2) l=l*k%mod;
            b[i]/=2;
            k=k*k%mod;
        }
        b[i]=0;    
    }
    return l;
}

int main()
{
    o=0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    for (i=2;i<=2000000;i++)
    if (!a[i]){
        for (j=2;i*j<=2000000;j++)
        a[i*j]=1;
        c[++o]=i;
        }
    scanf("%I64d",&t);
    for (;t;t--)
    {
        scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
        printf("%I64d\n",(cal(n,m)+mod)%mod);
    }        
    return 0;
}