【高等数学】多元函数-连续可导可微（定义+证明+记忆方法）

多元函数-连续 偏导 可微

定义

1.连续定义

设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为D, $P_0(x_0,y_0)$为D的聚点，且$P_0\in D$,若

$$li{m}_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

则称函数$f(x,y)$在$P_0$连续

聚点：如果给定任意的$\delta >0$，点P的去心领域$U(P,\delta )$内总有E的点，那么称P是E的聚点

2.偏导定义

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一领域内有定义，当$y$固定在$y_0$，而x在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量

$$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$$

如果

$$li{m}_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

存在，那么称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作

$\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{x=x_0,y=y_0}$ , $\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{x=x_0,y=y_0}$,$\frac{Z_x}{\partial x}$