最大公约数(greatest common divisor)算法

本文讨论最大公约数(greatest common divisor)的算法 .主要有两种，一是古希腊的数学家欧几里得(Euclid)提出的辗转相除法，另一个是Stein算法。

1.辗转相除法

欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理：
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

根据这个原理,欧几里德算法描述用C语言描述为：

 

   int  gcd( int  a, int  b) 
   ... { 
      if(0 == a ) 
      ...{ 
          return b; 
      } 
      if( 0 == b) 
      ...{ 
          return a; 
      } 
      if(a > b)