蓝桥杯-装饰珠

addmission

已于 2022-01-20 13:19:16 修改

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分类专栏： # 练习文章标签：算法

于 2022-01-19 18:18:46 首次发布

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本文介绍了一道名为“装饰珠”的蓝桥杯竞赛题目，通过将其转化为背包问题进行解决。文章详细解释了如何利用分组背包的思想，对不同等级装饰珠进行枚举，并给出了具体的时间与空间复杂度分析及C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目 (蓝桥杯-装饰珠）

题目描述

在怪物猎人这一款游戏中，玩家可以通过给装备镶嵌不同的装饰珠来获取相应的技能，以提升自己的战斗能力。

已知猎人身上一共有 6 件装备，每件装备可能有若干个装饰孔，每个装饰孔有各自的等级，可以镶嵌一颗小于等于自身等级的装饰珠 (也可以选择不镶嵌)。

装饰珠有 M 种，编号 1 至 M，分别对应 M 种技能，第 i 种装饰珠的等级为 $L_i$ ，只能镶嵌在等级大于等于 $L_i$ 的装饰孔中。
对第 i 种技能来说，当装备相应技能的装饰珠数量达到 $K_i$ 个时，会产生 $W_i(K_i)$ 的价值，镶嵌同类技能的数量越多，产生的价值越大，即 $W_i(K_{i-1})<W_i(K_i)$ 。但每个技能都有上限 $P_i(1≤P_i≤7)$ ，当装备的珠子数量超过 $P_i$ 时，只会产生 $W_i(P_i)$ 的价值。

对于给定的装备和装饰珠数据，求解如何镶嵌装饰珠，使得 6 件装备能得到的总价值达到最大。

输入描述

输入的第 1 至 6 行，包含 6 件装备的描述。其中第i行的第一个整数 $N_i$ 表示第i件装备的装饰孔数量。后面紧接着 $N_i$ 个整数，分别表示该装备上每个装饰孔的等级L(1≤ L ≤4)。
第 7 行包含一个正整数 M，表示装饰珠 (技能) 种类数量。
第 8 至 M + 7 行，每行描述一种装饰珠 (技能) 的情况。每行的前两个整数 $L_j(1≤ L_j ≤4)$ 和 $P_j(1≤ P_j ≤7)$ 分别表示第 j 种装饰珠的等级和上限。接下来 $P_j$ 个整数，其中第 k 个数表示装备该中装饰珠数量为 k 时的价值 $W_j(k)$ 。
其中 $1 ≤ N_i ≤ 50，1 ≤ M ≤ 10^4，1 ≤ W_j(k) ≤ 10^4$ 。

思路

本题是选择性问题，很显然题目的本质是一个背包问题。6个装备可以看成同一个装备，孔的等级才是关键。
我们观察两个不同的等级的珠子L和L-1。对于L而言它可以放入L ~ 4的孔中，而L-1能放入L-1 ~ 4的孔中。即L的珠子能放的孔，L-1必然可以放，我们就可以将L从大到小进行珠子的枚举，注意每次等级变化会将背包的容量也扩大。
再考虑一个种类的珠子的放入，放入只考虑0 ~ $P_i$ ，且我们只可能从中选择一个，这就是经典的分组背包问题，所以每一个种类的珠子就是一个分组，仅可选择其中的一个，空间复杂度就为 $O (6 N)$ ,N为每个装备的最多孔数。
时间复杂度为 $O(m\log{m} +m*6*N*7 ) = O(m\log{m} + 2100m)$

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 305 , M = 1e4+5;
int cnt[5];
int n,m,dp[N];

struct node
{
  int l,mx;
  int w[8];
  bool operator < (const node & t)const
  {
    return  l > t.l;
  }
}p[M];

int main()
{
  for(int i = 1 ; i <= 6 ; i ++)
  {
    cin>>n;
    int x;
    for(int j = 1 ; j <= n ; j ++)
    {
      cin>>x;
      cnt[x]++;
    }
  }

  cin>>m;
  for(int i = 1 ; i <= m ; i ++)
  {
    cin>>p[i].l>>p[i].mx;
    for(int j = 1 ; j <= p[i].mx ; j ++)
      cin>>p[i].w[j];
  }
  sort(p+1,p+m+1);
   memset(dp, 0x80, sizeof dp), dp[0] = 0;
    int ans = 0, sum = 0, i = 1;
    for (int L = 4; L >= 1; L--) {
        sum += cnt[L];
        while(p[i].l == L)
        {
          for(int  k = sum ; k >= 0 ; k --)
          {
            for(int j = 1 ; j <= p[i].mx ; j ++)
            {
              if(k >= j)
                dp[k] = max(dp[k],dp[k-j]+p[i].w[j]);
            }
          }
          i++;
        }
    }
  for (int i = 0; i <= sum; i++) ans = max(ans, dp[i]);
  cout<<ans;
  return 0;
}