AcWing 1223. 最大比例

原创已于 2022-01-20 13:19:33 修改 · 351 阅读

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#c++ #算法 #数据结构

于 2022-01-15 15:30:50 首次发布

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本文详细解析AcWing1223最大比例问题，介绍了一种利用等比数列特性和辗转相减法求解最大比例系数的方法。通过对输入数据进行排序去重，并计算两两间比值，最终确定可能的最大比例系数。

AcWing 1223. 最大比例

题目

X星球的某个大奖赛设了 M 级奖励。

每个级别的奖金是一个正整数。

并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。

也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。

比如：16,24,36,54，其等比值为：3/2。

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。

请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式
第一行为数字 N ，表示接下的一行包含 N 个正整数。

第二行 N 个正整数 Xi，用空格分开，每个整数表示调查到的某人的奖金数额。

输出格式
一个形如 A/B 的分数，要求 A、B 互质，表示可能的最大比例系数。

数据范围
$0 < N < 100$
$0<X_i<10^{12}$
数据保证一定有解。

思路

对于 $a_{1...n}$ 排序去重得到 $b_{1..m}$ 。将它们两两之间的比值求出，得到 $r_{2..m}$ 。
$r_i = (\frac{p}{q})^{x_i}$
若我们已知p,q,x，那么，要求的最大值必然是 $(pq)k(\frac{p}{q})^k$ ，其中 $k=gcd(x_{2...m})$ 。而如今我们并不知道它们分别为多少，仅知道它们的幂。
不妨设F(a,b)就是a,b之间的最佳比例，我们对于p,q分别计算，这里仅讨论p。
$\begin{aligned} F(a,b) &=F(p^x,p^y)~~~~(y>x)\\ &=p^{gcd(x,y)}\\ &=p^{gcd(x,y-x)}~~~(这里采用辗转相减，由于在指数部分，使用除法要开方，并不适用于我们的整数计算)\\ &=F(p^x,p^{y-x}) \end{aligned}$
从而可以得到最佳比例。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 105;
#define int long long
int a[N],n;
int up[N],down[N];

int gcd(int a,int b)
{
    return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
}

int pgcd(int a,int b)
{
    if(a > b)
        swap(a,b);
    if(a == b)
        return a;
    return pgcd(a,b/a);
}

signed main()
{
    cin>>n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    int m = unique(a+1,a+n+1) - a - 1;
    for (int i = 2; i <= m ; i ++)
    {
        int d = gcd(a[i],a[1]);
        up[i] = a[i] / d;
        down[i] = a[1] / d;
    }
    int u = up[2] , dw = down[2];
    for (int i = 2 ; i <= m ; i ++)
    {
        u = pgcd(u,up[i]);
        dw = pgcd(dw,down[i]);
    }
    cout<<u<<"/"<<dw;
    return 0;
}