acwing 1223.最大比例（更相减损术）

X星球的某个大奖赛设了 M 级奖励。
每个级别的奖金是一个正整数。
并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。
也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。
比如：16,24,36,54，其等比值为：3/2。
现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。
请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式
第一行为数字 N ，表示接下的一行包含 N 个正整数。

第二行 N 个正整数 Xi，用空格分开，每个整数表示调查到的某人的奖金数额。

输出格式
一个形如 A/B 的分数，要求 A、B 互质，表示可能的最大比例系数。

数据范围
0<N<100
0<Xi<1012
数据保证一定有解。

输入样例1：
3
1250 200 32
输出样例1：
25/4
输入样例2：
4
3125 32 32 200
输出样例2：
5/2
输入样例3：
3
549755813888 524288 2
输出样例3：
4/1

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假设原数列为 a,a*(p/q)^1, a*(p/q)^2,…, a*(p/q)^(n-1)
假设抽取的数列 b0,b1,…,b(N-1) (从小到大排好序了)
b1/b0,b2/b0,…,b(N-1)/b0–> (p/q)^x1, (p/q)^x2,…, (p/q)^x(N-1)
我们要求的是： （p/q）^k (p/q)>1,所以使k最大，即求（p/q）^x1~ (p/q)^x(N-1)的最大公约数，其实就是求x1~x(N-1)的最大公约数
//这里我们使用更相减损术，因为我们没有得到确切的x1~x(N-1)是多少，我们只有(p/q)^x1, (p/q)^x2,…, (p/q)^x(N-1)这些的值

更相减损术：第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2的积与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

更相减损术总用较大的减去较小的
例子：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公约数等于7。

我们这里要用更相减损术的是指数，所以要让(p/q)^x1 ，(p/q)^x2,…, (p/q)^x(N-1)，两两计算，互除，除到结果为1,即x1=x2,此时幂次为0，结果为1。
把分子分母分别去算，结果是相同的因为，分子分母的幂次是相同的

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#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

typedef long long ll;


ll x[N], a[N], b[N];
int cnt = 0;

ll gcd(ll a, ll b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a; 
}

ll gcd_sub(ll a, ll b)
{
	if(a < b) swap(a, b);//更相减损术总是大减小 
	if(b == 1) return a;
	return gcd_sub(b, a / b);
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for(int i = 0; i < n; i ++) cin >> x[i];
	
	sort(x, x + n);
	
	for(int i = 1; i < n; i ++)
	{
		if(x[i] != x[i - 1])
		{
			ll d = gcd(x[i], x[0]);
			a[cnt] = x[i] / d;//分子
			b[cnt] = x[0] / d;//分母
			cnt ++; 
		}
	}
	
	ll up = a[0], down = b[0];
	for(int i = 1; i < cnt; i ++)
	{
		up = gcd_sub(up, a[i]);//求最大公约数
		down = gcd_sub(down, b[i]); 
	}
	
	cout << up << "/" << down << endl;
	return 0;
}