【动态规划】斐波那契数列模型总结

一、第 N 个泰波那契数

题目链接： 第 N 个泰波那契数

题目描述：

题目分析：

1、状态表示：

dp[i] 表示：第 i 个斐波那契数的值

2、状态转移方程：

由题意可知第 i 个数等于其前三个数之和

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

3、初始化：

由于递推公式中存在 i-1、i-2、i-3，当 i=0、1、2的时候，就会出现-1，-2，-3这种非法的下标值，导致数组访问异常。因此，我们需要在填表前将 0,1,2 位置的值初始化。题目中也直接告诉了我们这些位置的初始值：

dp[0]=0 、 dp[1]=1 、 dp[2]=1

4、优化

其实每次在求取 dp[i] 的时候，只需要知道其前三个元素的值即可。也就是说我们在每次更新后只需要保存最后的三个数即可。通过三个数的值就能更新出下一个 dp 值。

代码实现：

class Solution {
    public int tribonacci(int n) {
        int[] dp=new int[]{0,1,1};
        if(n==0)return 0;
        if(n<3)return 1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            dp[i%3]=dp[0]+dp[1]+dp[2];
        }
        return dp[n%3];
    }
}

二、三步问题

题目链接： 三步问题

题目描述：

题目分析：

1、状态表示：

dp[i] 表⽰：到达 i 位置时，⼀共有多少种⽅法。

2、状态转移方程：

到达第 i 级台阶的所有方法我们不好确定，但我们可以确定到达第 i 级台阶的上一步只有三种可能：

• 从 i-1置上一级台阶，且到达 i-1 位置的方法数为 dp[i-1]
• 从 i-2置上二级台阶，且到达 i-2 位置的方法数为 dp[i-2]
• 从 i-3置上三级台阶，且到达 i-3 位置的方法数为 dp[i-3]

而到达第 i 级台阶的方法数就应该为其所有上一步的方式之和：

因此dp[i]=dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

注意：由于这里计算的结果可能会很大。因此我们需要对结果进行取模。并且为了防止求和时溢出，在每次求和时都要先取模再求和

3、初始化：

由于递推公式中存在 i-1、i-2、i-3，当 i=0、1、2的时候，就会出现-