sdibt 3146 The K'th number（康托展开）

最新推荐文章于 2018-10-10 19:53:00 发布

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本文详细解析了康托展开的概念及其在排列数逆运算中的应用，通过实例展示了如何利用康托展开原理找到特定排列在所有排列中的位置及生成指定位置的排列数。

链接：sdibt 3146

本题运用到一个知识点，康托展开

公式：把一个整数X展开成如下形式：

X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!

其中，a为整数，并且0<=a[i]<i(1<=i<=n)

用一个例子解释：{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个。123 132 213 231 312 321 。

求1324是{1,2,3,4}排列数中第几小的数：

第一位是1小于1的数没有，是0个 0*3!

第二位是3小于3的数有1和2，但1已经在第一位了，所以只有一个数2 1*2! 。

第三位是2小于2的数是1，但1在第一位，所以有0个数 0*1! ，

所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个，1324是第三个小数。

逆运算：

{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕

(1)找出第96个数

首先用96-1得到95

用95去除4! 得到3余23

有3个数比它小的数是4

所以第一位是4

用23去除3! 得到3余5

有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以第二位是5（4在之前出现过，所以实际比5小的数是3个）

用5去除2!得到2余1

有2个数比它小的数是3，第三位是3

用1去除1!得到1余0

有1个数比它小的数是2，第二位是2

最后一个数只能是1

所以这个数是45321

(2)找出第16个数

首先用16-1得到15

用15去除4!得到0余15

用15去除3!得到2余3

用3去除2!得到1余1

用1去除1!得到1余0

有0个数比它小的数是1

有2个数比它小的数是3 但由于1已经在之前出现过了所以是4（因为1在之前出现过了所以实际比4小的数是2）

有1个数比它小的数是2 但由于1已经在之前出现过了所以是3（因为1在之前出现过了所以实际比3小的数是1）

有1个数比它小得数是2 但由于1，3，4已经在之前出现过了所以是5（因为1，3，4在之前出现过了所以实际比5小的数是1）

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

AC代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int main()
{
    long long k,m,f[21]={1,1};
    int i,j,x,n,t,a[210],b[210];
    for(i=2;i<=20;i++)
        f[i]=f[i-1]*i;
    while(scanf("%d%lld",&n,&k)!=EOF){
        k--;
        memset(a,0,sizeof(a));
        x=1;
        for(i=20;i>=1;i--)
            if(k>=f[i])
                break;
        for(j=1;j<n-i;j++){
            b[x++]=j;
            a[j]=1;
        }
        for(i++;i>=1;i--){
            m=k/f[i-1];
            t=0;
            for(j=1;j<=n;j++){
                if(a[j]==0)
                    t++;
                if(t==m+1){
                    a[j]=1;
                    break;
                }
            }
            k%=f[i-1];
            b[x++]=j;
        }
        for(i=1;i<n;i++)
            printf("%d ",b[i]);
        printf("%d\n",b[i]);
    }
    return 0;
}