欧拉函数

欧拉定理

如果两个正整数a和n互质，则n的欧拉函数 φ(n) 可以让下面的等式成立：

a^φ(n)=1(modn);

如果两个正整数a和n互质，那么一定可以找到整数b，使得 a^b-1 被n整除，或者说a^b被n除的余数是1。

这时，b就叫做a的“模反元素”。

a的 φ(n)-1 次方，就是a的模反元素

欧拉函数

  

//求单个数字的欧拉函数，复杂度为O(√n);
int Dir(int x) {
    int res = x;
    for(int i = 2; i * i <= x; i ++) {
        if(x % i == 0) {
            res = res / i * (i - 1);
            while (x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    return res;
}


//递推打表求欧拉函数，复杂度O（n*Log(n)）
LLI Euler[maxn];
void Recursive(LLI n)
{
//    Euler[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)    Euler[i] = i;
    for (int i = 2; i <= n; i += 2)  Euler[i] /= 2;
    for (int i = 3; i <= n; i += 2)
        if(Euler[i] == i)
            for (int j = i; j <= n; j += i)
                Euler[j] = Euler[j] / i * (i - 1);
}
//另一种方法求欧拉函数，复杂度O(n)
bool isPrime[maxn];
LLI primeList[maxn],phi[maxn],primeCount = 0;
void Recursive(LLI n) {
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    for(LLI i = 2; i <= n; i ++) {
        if(isPrime[i]) {
            primeCount ++;
            primeList[primeCount] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(LLI j = 1; j <= primeCount; j ++) {
            if(i * primeList[j] > n)    break;
            isPrime[i * primeList[j]] = false;
            if(i % primeList[j] == 0) {
                phi[i * primeList[j]] = phi[i] * primeList[j];
                break;
            } else    
				phi[i * primeList[j]] = phi[i] * (primeList[j] - 1);
        }
    }
}