佩尔方程

最新推荐文章于 2022-08-07 20:59:42 发布

acm2016

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分类专栏：数学文章标签：数学佩尔方程

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佩尔方程是形如x2-D*y2=1的特殊方程，其中D为非完全平方正整数。该方程总是存在正整数解，最小解(x1, y1)可以通过幂运算生成所有解。当D为素数且D = 4k + 1时，方程必定有解。此外，针对x² - Dy² = K的情况，解的存在性依赖于特定条件，且若有解则有无限多个。" 113341366,10536463,JDBC操作MySQL中的CLOB和BLOB数据类型,"['数据库', 'MySQL', 'JDBC', '数据类型', '文件操作']

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   佩尔方程 
  
 
 
佩尔方程：
形如x2-D*y2=1(D是一个固定的正整数且D不是完全平方数)的方程称为佩尔方程
佩尔方程定理：
佩尔方程总有正整数解，若(x1,y1)是使x1最小的解，则每个解(xk,yk)都可以通过取幂得到： 
 xk + yk * sqrt(D) = (x1 + y1 *sqrt(D))k
xn+1 = x0xn +Dy0yn , yn+1 = y0xn+ x0yn
xn+2 = 2x0xn+1-xn   yn+2 = 2x0yn+1-yn

   代码： 
  
 
 
 
   //求出p2 - D * q2 = 1的基解(最小正整数解),这个可能溢出,有必要的话,用java, 写成类比较好
bool PQA(LLI D, LLI &p, LLI &q) {//来自于PQA算法的一个特例
	LLI d = sqrt(D);
	if ((d + 1) * (d + 1) == D)	return false;
	if (d * d == D)					return false;
	if ((d - 1) * (d - 1) == D)	return false;//这里是判断佩尔方程有没有解
	LLI u = 0, v = 1, a = int(sqrt(D)), a0 = a, lastp = 1, lastq = 0;
	p = a, q = 1;
	do {
		u = a * v - u;
		v = (D - u * u) / v;
		a = (a0 + u) / v;
		LLI thisp = p, thisq = q;
		p = a * p + lastp;
		q = a * q + lastq;
		lastp = thisp;
		lastq = thisq;
	} while ((v != 1 && a <= a0));//这里一定要用do~while循环
	p = lastp;
	q = lastq;
	//这样求出后的(p,q)是p2 – D * q2 = (-1)k的解，也就是说p2 – D * q2可能等于1也可能等于-1,如果等于1,(p,q)就是解,如果等于-1还要通过(p2 + D * q2,2 * p * q)来求解，如下
	if (p * p - D * q * q == -1) {
		p = lastp * lastp + D * lastq * lastq;
		q = 2 * lastp * lastq;
	}
	return true;
}
 
  

   扩展 
  
 
 
1.  x2 - D * y2 = -1(D不是完全平方数)
这个方程并不一定有解，但若有解，则有无数解(这里的解说的都是正整数解)
且有：xn+1 = (x0² + Dy0²)xn+ 2Dx0y0yn,   yn+1 = 2x0y0xn+ (x0² + Dy0²)yn ((x0,y0)是基解)
这种情况下，依旧使用上面的算法，如果最后求出的p和q满足p2 – D * q2  = -1则必然有解，否则无解
其中，若D是素数且D = 4 * k + 1，则必有解
2.  x² - Dy² = K(D不是完全平方数 && |K| != 1)
这个方程并不一定有解，但若有解，则有无数解,待续