文章介绍了插入排序算法，以及针对给定数组的两种操作：修改元素值和查询元素在排序后的相对位置。讨论了如何优化插入操作以减少时间复杂度，并提供了C/C++和Pascal的代码示例以及解题思路。
题目描述
插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生，今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。
假设比较两个元素的时间为 \mathcal O(1)O(1)，则插入排序可以以 \mathcal O(n^2)O(n2) 的时间复杂度完成长度为 nn 的数组的排序。不妨假设这 nn 个数字分别存储在 a_1, a_2, \ldots, a_na1,a2,…,an 之中，则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式：
这下面是 C/C++ 的示范代码：
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = i; j >= 2; j--)
if (a[j] < a[j-1]) {
int t = a[j-1];
a[j-1] = a[j];
a[j] = t;
}
这下面是 Pascal 的示范代码：
for i:=1 to n do
for j:=i downto 2 do
if a[j]<a[j-1] then
begin
t:=a[i];
a[i]:=a[j];
a[j]:=t;
end;
为了帮助小 Z 更好的理解插入排序，小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业：
H 老师给了一个长度为 nn 的数组 aa，数组下标从 11 开始，并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 aa 上的 QQ 次操作，操作共两种，参数分别如下：
1~x~v1 x v：这是第一种操作，会将 aa 的第 xx 个元素，也就是 a_xax 的值，修改为 vv。保证 1 \le x \le n1≤x≤n，1 \le v \le 10^91≤v≤109。注意这种操作会改变数组的元素，修改得到的数组会被保留，也会影响后续的操作。
2~x2 x：这是第二种操作，假设 H 老师按照上面的伪代码对 aa 数组进行排序，你需要告诉 H 老师原来 aa 的第 xx 个元素，也就是 a_xax，在排序后的新数组所处的位置。保证 1 \le x \le n1≤x≤n。注意这种操作不会改变数组的元素，排序后的数组不会被保留，也不会影响后续的操作。
H 老师不喜欢过多的修改，所以他保证类型 11 的操作次数不超过 5000。
小 Z 没有学过计算机竞赛，因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。
输入格式
第一行，包含两个正整数 n, Qn,Q，表示数组长度和操作次数。
第二行，包含 nn 个空格分隔的非负整数，其中第 ii 个非负整数表示 a_iai。
接下来 QQ 行，每行 2 \sim 32∼3 个正整数，表示一次操作，操作格式见【题目描述】。
输出格式
对于每一次类型为 22 的询问，输出一行一个正整数表示答案。
输入输出样例
输入
3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3输出
1
1
2说明/提示
【样例解释 #1】
在修改操作之前，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3, 2, 13,2,1。
在修改操作之后，假设 H 老师进行了一次插入排序，则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3, 1, 23,1,2。
注意虽然此时 a_2 = a_3a2=a3，但是我们不能将其视为相同的元素。
【样例 #2】
见附件中的 sort/sort2.in 与 sort/sort2.ans。
该测试点数据范围同测试点 1 \sim 21∼2。
【样例 #3】
见附件中的 sort/sort3.in 与 sort/sort3.ans。
该测试点数据范围同测试点 3 \sim 73∼7。
【样例 #4】
见附件中的 sort/sort4.in 与 sort/sort4.ans。
该测试点数据范围同测试点 12 \sim 1412∼14。
【数据范围】
对于所有测试数据，满足 1 \le n \le 80001≤n≤8000，1 \le Q \le 2 \times {10}^51≤Q≤2×105，1 \le x \le n1≤x≤n，1 \le v,a_i \le 10^91≤v,ai≤109。
对于所有测试数据，保证在所有 QQ 次操作中，至多有 50005000 次操作属于类型一。
各测试点的附加限制及分值如下表所示。
| 测试点 | n \len≤ | Q \leQ≤ | 特殊性质 |
|---|---|---|---|
| 1 \sim 41∼4 | 1010 | 1010 | 无 |
| 5 \sim 95∼9 | 300300 | 300300 | 无 |
| 10 \sim 1310∼13 | 15001500 | 15001500 | 无 |
| 14 \sim 1614∼16 | 80008000 | 80008000 | 保证所有输入的 a_i,vai,v 互不相同 |
| 17 \sim 1917∼19 | 80008000 | 80008000 | 无 |
| 20 \sim 2220∼22 | 80008000 | 2 \times 10^52×105 | 保证所有输入的 a_i,vai,v 互不相同 |
| 23 \sim 2523∼25 | 80008000 | 2 \times 10^52×105 | 无 |
（个别地方字符无法识别，原题出自于洛谷P7910 [CSP-J 2021] 插入排序）
思路
这道题乍一看
嘶~
在讲什么
怎么看不懂
往往这种时候
就不要慌
要仔细读题
其实内容十分简单
就是说给你几个数字
有两种操作——插入和输出数组位置
首先看样例
3 4 3个数，操作4次
3 2 1 分别输入3个数
2 3 数组[3]所处的位置
1 3 2 将数组第三个元素更改为2
2 2 数组[2]所处的位置
2 3 数组[3]所处的位置
既然要输出原始的位置，就一定有一个变量存储
这里我们使用结构体
struct node//创建结构体
{
int num;//定义存储数字的变量
int id;//定义存储编号的变量
}a[8000];讲几个要点
既然有排序
又要用结构体存储
那么我们可以使用sort函数
1 sort(a+1,a+n+1,cmp);//按升序排序
注意因为有结构体
所以sort中的cmp需要根据实际自己设计
bool cmp(node x,node y)//cmp函数，用于sort排序和升序降序判断
{
if(x.num!=y.num)return x.num<y.num;//如果前面的数字和后面的数字不同，按数字升序排序
else return x.id<y.id;//否则按编号升序排序
}再看两个操作
1.修改
也可以说是更改过去的数组元素的值
所以一定有一个遍历寻找
for(int j=1;j<=n;j++)//遍历寻找要更改的数字
{
if(a[j].id==u)//如果找到了
{
a[j].num=w;//更改
break;//跳出循环
}
}切记，每一次更改都要带一次排序
1 sort(a+1,a+n+1,cmp);//按升序排序
那么
插入就完成了
2.输出
还是遍历寻找
只要输入的编号和过去的编号一样就输出并跳出循环
for(int j=1;j<=n;j++)//遍历寻找
{
if(a[j].id==k)//找到原始编号与k相同的
{
cout<<j<<endl;//输出当前编号
break;//跳出循环
}
}
所以代码大致框架就出来了
只需要处理一下细节
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node//创建结构体
{
int num;//定义存储数字的变量
int id;//定义存储编号的变量
}a[8000];
bool cmp(node x,node y)//cmp函数，用于sort排序和升序降序判断
{
if(x.num!=y.num)return x.num<y.num;//如果前面的数字和后面的数字不同，按数字升序排序
else return x.id<y.id;//否则按编号升序排序
}
int main()
{
int i,j,n,k,q,w,u;//定义变量
cin>>n>>q;//输入n和q
for(i=1;i<=n;i++)//输入数字
{
cin>>a[i].num;//保存数字
a[i].id=i;//保存原始编号
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);//按升序排序
for(i=1;i<=q;i++)//执行q次操作
{
cin>>w;//输入操作方式
if(w==1)//判断操作方式
{
//更改
cin>>u>>w;//输入更改的编号和数字
for(int j=1;j<=n;j++)//遍历寻找要更改的数字
{
if(a[j].id==u)//如果找到了
{
a[j].num=w;//更改
break;//跳出循环
}
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);//按升序排序
}
else
{
//输出
cin>>k;//输入想要输出的数字的编号
for(int j=1;j<=n;j++)//遍历寻找
{
if(a[j].id==k)//找到原始编号与k相同的
{
cout<<j<<endl;//输出当前编号
break;//跳出循环
}
}
}
}
return 0;//结束程序
}是不是很简单？
不不不
奥赛的题最主要的问题就是超时
这道也不例外
只能拿76分
问题
这道题超时的地方主要有两个地方
插入和排序
1.修改
这道题说过了，老师不喜欢过多的修改
所以最多插入操作有5000次
每一次都要遍历和快排
n<=8000
所以时间复杂度为n^2log(n)
最坏打算时n=8000
时间复杂度差不多为1.5*10^8
所以需要优化
这里我们需要另外一种排序方式
因为在修改前数组还是按升序排序
修改后只改变了一个元素
比如说
1 2 3 4 5
把3改为6
1 2 6 4 5
这个时候我们只需要让6和前后元素比较
如果比前面大或如果比后面小
那么交换
这里用到swap函数和前面编写的cmp函数
for(int j=1;j<=n-1;j++)if(cmp(a[j],a[j+1])==0)swap(a[j],a[j+1]);//向前遍历按升序排序
for(int j=n;j>=2;j--)if(cmp(a[j-1],a[j])==0)swap(a[j-1],a[j]);//向后遍历按升序排序
for(j=1;j<=n;j++)b[a[j].id]=j;//更新编号，这个一会讲2.查找并输出
它的时间复杂度为n^2
n<=8000
最坏打算时
时间复杂度为1.6*10^9
我们可以通过保存编号
当寻找时直接可以输入编号
1 for(i=1;i<=n;i++)b[a[i].id]=i;//用累计排序保存id的编号顺序
然后操作2的步骤就可以改为
//输出
cin>>k;//输入想要输出的数字的编号
cout<<b[k]<<endl;//输出并换行经过这些优化
我们就得到了满分代码
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node//创建结构体
{
int num;//定义存储数字的变量
int id;//定义存储编号的变量
}a[8000];
bool cmp(node x,node y)//cmp函数，用于sort排序和升序降序判断
{
if(x.num!=y.num)return x.num<y.num;//如果前面的数字和后面的数字不同，按数字升序排序
else return x.id<y.id;//否则按编号升序排序
}
int main()
{
int b[100005],i,j,n,k,q,w,u;//定义变量，b可以不用初始化
cin>>n>>q;//输入n和q
for(i=1;i<=n;i++)//输入数字
{
cin>>a[i].num;//保存数字
a[i].id=i;//保存原始编号
}
sort(a+1,a+n+1,cmp);//按升序排序
for(i=1;i<=n;i++)b[a[i].id]=i;//用累计排序保存id的编号顺序
for(i=1;i<=q;i++)//执行q次操作
{
cin>>w;//输入操作方式
if(w==1)//判断操作方式
{
//更改
cin>>u>>w;//输入更改的编号和数字
for(int j=1;j<=n;j++)//遍历寻找要更改的数字
{
if(a[j].id==u)//如果找到了
{
a[j].num=w;//更改
break;//跳出循环
}
}
for(int j=1;j<=n-1;j++)if(cmp(a[j],a[j+1])==0)swap(a[j],a[j+1]);//向前遍历按升序排序
for(int j=n;j>=2;j--)if(cmp(a[j-1],a[j])==0)swap(a[j-1],a[j]);//向后遍历按升序排序
for(j=1;j<=n;j++)b[a[j].id]=j;//更新编号
}
else
{
//输出
cin>>k;//输入想要输出的数字的编号
cout<<b[k]<<endl;//输出并换行
}
}
return 0;//结束程序
}最后
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