Palindromic Squares

本文解析了USACO竞赛中Palsquare题目,介绍了一种算法来找出1到300之间哪些数的平方,在给定的进制下能形成回文串,并提供了完整的C++代码实现。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

http://train.usaco.org/usacoprob2?a=RpE7lHu9ejp&S=palsquare

题目大意:

输入b(0<b<=20)

输出1---300(十进制)转化到b进制后的平方是回文字符序列的数字(以b进制形式输出)

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;
string s = "0123456789ABCDEFGHIG";
string convert(int n, int r)  //n(10进制)----> string(r进制) 
{
	string c, c1;
	int d;			//余数
	while(n)
	{
		d = n%r;
		c += s[d];
		n /= r;
	}
	for(int i = c.size() - 1; i >= 0; i--) c1 += c[i];
	return c1;
}
bool isok(string c)		//判断是否回文 
{
	for(int i = 0, j = c.size() - 1; i < j; i++, j--)
		if(c[i] != c[j]) return false;
	return true;
}

int main()
{
	ifstream fin("palsquare.in");
	ofstream fout("palsquare.out");
	int b;
	string c;
	while(fin >> b)
	{
		for(int i = 1; i <= 300; i++)
		{
			c = convert(i*i, b);
			if(isok(c)) fout << convert(i, b) << " " << c <<endl;;
		}
	} 
	return 0;
}


### 关于回文子序列的算法及其示例 #### 定义与概念 回文是指正读和反读都相同的字符序列。对于给定字符串中的任意字符组合形成的子序列,如果该子序列满足上述条件,则称为回文子序列。 #### 动态规划求解最长回文子序列 为了找到一个字符串中最长的回文子序列,可以采用动态规划的方法来解决这个问。设 `dp[i][j]` 表示从第 i 到 j 的子串内的最长回文子序列长度: - 当 s[i]==s[j] 时, dp[i][j]=dp[i+1][j−1]+2; - 否则, dp[i][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j−1]). 最终的结果保存在 `dp[0][len(s)-1]` 中[^3]. ```python def longest_palindromic_subseq(s: str) -> int: n = len(s) # 创建二维数组用于存储中间结果 dp = [[0]*n for _ in range(n)] # 初始化单个字符的情况 for i in range(n): dp[i][i] = 1 # 填充表格 for length in range(2, n + 1): for start in range(n - length + 1): end = start + length - 1 if s[start] == s[end]: dp[start][end] = dp[start+1][end-1] + 2 else: dp[start][end] = max(dp[start+1][end], dp[start][end-1]) return dp[0][-1] ``` 此方法的时间复杂度为 O(n²),空间复杂度同样为 O(n²). #### 枚举所有可能的回文子序列 除了寻找最长的回文子序列外,还可以通过枚举的方式找出所有的不同回文子序列。这种方法适用于较短的输入字符串,并且可以通过位掩码技术实现高效的遍历。 ```python from collections import defaultdict def count_distinct_palindrome_subsequences(text: str) -> list[str]: results = set() memo = {} def backtrack(start=0, path=""): nonlocal text, results, memo key = (start, path) if key not in memo: temp_set = {path} if path == path[::-1] else {} for index in range(start, len(text)): new_path = path + text[index] if new_path == new_path[::-1]: temp_set.add(new_path) temp_set |= backtrack(index + 1, new_path) memo[key] = temp_set results.update(memo[(start, path)]) return memo[(start, path)] backtrack() return sorted(list(results)) ``` 这段代码会返回按字典序排列的不同回文子序列列表.
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