基础数论概述

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gcd

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int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

ex_gcd

前面我们用欧几里得算法gcd（a，b）=gcd（b，a%b）求得a，b的最大公约数，而扩展欧几里得算法可求得ax+by=gcd（a，b）的解，进一步可得到ax+by=m的解。
原理如下：
设a>b

当b=0时，很显然a*x=gcd(a,b)=a，所以x=1，而y为任意数，为了同一和方便我们令y=0；
当a>b>0时，设有两组等式a*x1 + b*y1=gcd(a,b)，b* x2+(a%b)* y2=gcd(b,a%b)。根据欧几里得算法的递归思想，a和b的gcd为t，而a=q*b+r，r=a-q*b为a，b的线性组合，又因为a%t=0，b%t=0，所以线性组合r%t=0，又有r=a%b，所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

联立等式有a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2，又有a%b=a-floor(a/b)* b[这里面floor()是向下取整的意思]，即：ax1+by1=bx2+[a-floor(a/b)*b]*y2，我们将a，b视为未知数所以由x1*a+y1*b=y2*a+[x2-floor(a/b)*y2]*b可得x1=y2y1=[x2-floor(a/b)*y2]
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LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //扩展欧几里得算法 
{
    if(b==0){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    LL ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret; //返回值为gcd(a,b)
}

线性筛

寻找0到n中的质数个数，i从2到sqrt（n）依次取未被标记数j，每次从j*j到n将j（当前质数）的倍数进行标记，最后剩下全为质数

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int isprime(int m,int n) {
    int *prime=new int[n+1];
    for(int i=2; i<=n; i++) 
        prime[i]=1;
    for(int i=2; i<=sqrt(n); i++) {
        if(prime[i]==0) continue;
        for(int j=i*i; j<=n; j+=i) 
            prime[j]=0;
    }
    int num=0;
    for(int i=m; i<=n; i++) 
        num+=prime[i];
    delete []prime;
    return num;
}
int main() {
    long long int n,m;
    while(cin>>m>>n) {
        cout<<isprime(m,n)<<endl;
    }
    return 0;
}

快速幂

LL quickpow(LL x,LL n)
{
	LL ans=1;
    x%=Mod;
	while(n>0){
		if(n&1) ans=(ans*x)%Mod;   //n%2==1 			
		x=(x*x)%Mod;
		n/=2;
	}
	return ans;
 }

斯特林公式

普通计算时：N！=1*2*3*4*5* ............*N；
如果要计算N！后得到的数字，则我们可以知道其等于lgN！+1
lgN！=lg1+lg2+lg3+lg4+lg5+....................+lgN;
但是当N很大的时候，我们可以通过数学公式进行优化：（即Stirling公式）
N！=sqrt(2*pi*N)*(N/e)^N；(pi=3.1415926=acos(-1.0)，e=2.718)lgN！=(lg(2*pi)+lgN)/2+N*(lgN-lge);
斯特林公式可以用来估算某数的大小结合lg可以估算某数的位数，或者可以估算某数的阶乘是另一个数的倍数。

判断一个组合数的奇偶性

C(n,k)为奇数时
n&k==k //n和k进行&位运算后还等于k

判断2的次方数

我们可以发现2的次方数n和n-1的二进制对应如下：
2 10 01
4 100 011
8 1000 0111
16 10000 01111
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即n&(n-1)=0
而要确定n是2的几次方则直接数>>1右移次数即可

原码反码补码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。
反码的表示方法是:正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
补码的表示方法是:正数的补码就是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。 (即在反码的基础上+1)

欧拉函数

欧拉函数
φ(n)表示1~n中与n互质的数的个数

容斥原理

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理
即 A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

欧拉定理

当n,a为正整数，且a和n互质时，a^φ(n)≡1(mod n);( 即[a^φ(n)]%n≡1%n )
应用：首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4。计算:a^φ(n) = 3^4 =81，而81 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。
这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^222的个位数，实际是求7^222被10除的余数。7和10互质，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。所以7^222=(7^4)^55 * (7^2) Ξ 1^55 * 7^2 Ξ 49 Ξ 9 (mod 10)。