Minimum Inversion Number（逆序数）

最新推荐文章于 2019-02-25 23:17:34 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/acdalao/article/details/89334484

本文探讨了逆序数的概念，通过一系列操作寻找给定序列的最小逆序数。利用离散化方法和单点修改区间查询技巧，文章详细解析了如何计算并优化逆序数，适用于算法竞赛和数据结构学习。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门HDU - 1394

描述

The inversion number of a given number sequence a1, a2, …, an is the number of pairs (ai, aj) that satisfy i < j and ai > aj.
For a given sequence of numbers a1, a2, …, an, if we move the first m >= 0 numbers to the end of the seqence, we will obtain another sequence. There are totally n such sequences as the following:
a1, a2, …, an-1, an (where m = 0 - the initial seqence)
a2, a3, …, an, a1 (where m = 1)
a3, a4, …, an, a1, a2 (where m = 2)
…
an, a1, a2, …, an-1 (where m = n-1)
You are asked to write a program to find the minimum inversion number out of the above sequences.

输入

The input consists of a number of test cases. Each case consists of two lines: the first line contains a positive integer n (n <= 5000); the next line contains a permutation of the n integers from 0 to n-1.

输出

For each case, output the minimum inversion number on a single line.

样例

Input
10
1 3 6 9 0 8 5 7 4 2
Output
16

思路

题意：给n个数，范围是0~n-1，并且每个数出现一次，每次可以将第一个数移到最后，求最大的逆序数（前面比他大的数的个数）之和
将a[i]填入对应位置，然后求1到a[i]中已经出现的数(这些数都小于等于a[i])的个数p，则a[i]的逆序数为i-p。当然这种方法的空间占用为max(a[i])，最好还是先离散化：逆序数求法，然后求出初始的逆序数和sum。
，因为每个数的范围是0~n-1且只出现一次，所以当a[i]从第一个位移到最后一位时，后面比他小的数的逆序数-1，逆序数和sum就要-(a[i])，自身的逆序数要加上整个序列里比他大的数，也就是(n-1)-a[i]，所以sum+=n-1-a[i]-a[i];
单点修改区间查询

Code

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define INIT(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
struct Tree{
	int num,k,l,r;
}tree[20001];
int a[5001],sum,ans;
void build(int l,int r,int d){
	tree[d]=(Tree){0,0,l,r};
	if(l==r)return ;
	int mid=(tree[d].l+tree[d].r)/2;
	build(l,mid,d<<1);
	build(mid+1,r,d<<1|1);
}
void add(int i,int a,int d){
	if(tree[d].l==tree[d].r){
		tree[d].num+=a;
		return;
	}
	int mid=(tree[d].l+tree[d].r)/2;
	if(i<=mid)add(i,a,d<<1);
	else add(i,a,d<<1|1);
	tree[d].num=tree[d<<1].num+tree[d<<1|1].num;
}
int find(int l,int r,int d){
	if(tree[d].l==l&&tree[d].r==r)
		return tree[d].num;
	int mid=(tree[d].l+tree[d].r)/2;
	if(r<=mid) return find(l,r,d<<1);
	else if(mid<l) return find(l,r,d<<1|1);
	else return find(l,mid,d<<1)+find(mid+1,r,d<<1|1);
}
int main(){
	int n;
	while(~scanf("%d",&n)){
		build(1,n,1); sum=0;ans=0x7fffffff;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
			add(a[i]+1,1,1);
			sum+=i-find(1,a[i]+1,1);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			sum+=n-2*a[i]-1;
			ans=min(sum,ans);
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	
	return 0;
}