概率统计学习第一天

最新推荐文章于 2025-09-10 14:12:00 发布

原创最新推荐文章于 2025-09-10 14:12:00 发布 · 516 阅读

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随机事件和随机变量

一、随机事件

古典概型：简单来说，随机事件的样本空间只有有限个样本点，每个样本点出现等可能且每次试验有且仅有一个样本点发生。

$\mathbb{P}\left ( A{} \right )= \frac{m}{n}$ 其中m为事件A的m个样本，n为总样本数

条件概率：某些事件发生的情况下考虑事件A发生的概率，比如下事件B发生的情况下考虑A的发生概率

$\mathbb{P}\left ( A| B\right )= \frac{\mathbb{P}\left ( AB \right )}{\mathbb{P}\left ( B \right )}$

全概率公式

$\mathbb{P}\left ( A \right )=\sum_{i=1}^{\infty }\mathbb{P}\left ( B_{i}\right )\mathbb{P}\left ( A|B_{i} \right )$ 其中Bi 为样本空间的一个划分。

贝叶斯公式

$\mathbb{P}\left ( B_{i}|A \right )=\frac{\mathbb{P}\left (B_{i} A\right )}{\mathbb{P}\left ( A \right )}=\frac{\mathbb{P}\left ( A|B_{i} \right )\mathbb{P}\left ( B_{i} \right )}{\sum_{j=1}^{\infty }\mathbb{P}\left ( B_{j} \right )\mathbb{P}\left ( A|B_{j} \right )}$ 其中P（Bi）称为先验概率，P（Bi|A）为后验概率。

二、随机变量及其分布

离散型随机变量：如果随机变量 $X$ 的全部可能取值只有有限多个或可列无穷多个，则称 $X$ 为离散型随机变量。掷骰子的结果就是离散型随机变量。

离散型随机变量的分布函数为： $F (x) = P (X<=x ) =\sum_{x_k <=x}{ P (X=x_k) } = \sum_{x_k <=x}{ P_k}$

常见的离散型分布

伯努利实验，二项分布：一个随机试验只有两种可能的结果 $A$ 和 $\overline A$ 且 $$$ P(A) = p$ ， $P(\overline A) =1-p=q $$$ ， $0<p<1$ .
随机变量的数字特征

1.数学期望：代表随机变量取值的平均值

2.方差：用来描述随机变量取值相对于均值的离散程度的一个量

3.协方差和相关系数：描述随机变量X与随机变量Y之间的线性联系程度数字量

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