随机事件、随机变量、分布函数的关系

在样本空间中，有很多样本点（基本事件），随机事件是由若干个样本点组成的。

如果现在存在函数X（·）使得样本空间中的每一个w都有与之确定的唯一实数X（w）,那么称定义在样本空间上实值单值函数X(w)是随机变量。

同时引入一个任意实数x属于R，有 X（w）<= x 称在小于等于x值的X(w)所表示的w的集合称作是随机事件。

也就是说，一开始有一个样本空间，这个空间里面有很多样本点，为了方便利用数学工具来研究里面的样本点，故将样本点数字化，引入函数X(·)使得每一个样本点w都有与之对应的唯一的X（w）值，即将一个抽象的二维样本空间转化成一个一维的数轴。

但这样是不够的，因为X（w）函数的自变量是w,其没有明确的表达方式，无法借用数学工具来对随机事件进行研究。此时迫切需要找一个实数变量x，这个变量的范围属于R，如果让X（w）和x有X（w）<= x 这样的关系，那么就可以通过调节x的大小，以此来控制落入范围中的w,以此用落入范围的w的集合来表示随机事件。这样就实现了通过比w方便控制的x来确定w的集合，以此来确定随机事件。虽然确定一个x就只能确定比其小的所有的w的集合，如果需要特定的w组成的随机事件该怎么办呢？

只要知道需要的w的随机变量函数的值X（w）就可以通过{w/X(w) < = x}这样w集合的相加减求出。那么集合的相加减如何实现呢？事实上，这样的方式很难实现，先不说集合结果如何表示，当样本点非常多，“多到连续的时候”，根本无法表示。不过，我们研究随机事件，就是要求他的概率，这个时候可以引入《分布函数》来表示随机事件集合的概率，用概率代替w集合，即将集合数字化，这样就可以通过概率的相加减，求出需要求得随机事件的概率了。（一石二鸟）

P{X<=a} = F(a)

P{X<a} = F(a-0) 左极限

P{X = a} = F(a) - F(a-0)

即我们一开始要研究随机事件的概率。怎么将一个个抽象的样本点变得能用数学来研究呢？将样本点数字化就好了，数字化的函数就是随机变量，以此来代表样本点（因变量统一化）。

尽管将样本点数字化了，但是函数的自变量w各种各样，怎么能够统一方便计算呢？引入一个实数x，当做自变量，就可以求出随机变量小于等于x下的w集合了。（自变量统一化）

但是这种方式只机械的求出一个范围内的w,有没有可能求出特定范围内的w,方便地进行加减运算呢？只要引入分布函数就好了，将整个集合数字化，由此实现（集合加减数字化）。而集合即随机事件的表达方式就是概率，即完成了一开始研究随机事件概率的目的。

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