『矩阵论笔记』约束优化方法之拉格朗日乘子法与KKT条件

最新推荐文章于 2024-09-18 21:15:48 发布
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分类专栏： 矩阵论和概率论学习笔记 Machine Learning学习笔记 文章标签： 矩阵论笔记 Lagrange Multiplier KKT条件
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/abc13526222160/article/details/88972617
本文介绍了拉格朗日乘子法在无约束、等式约束和不等式约束优化问题中的应用。从无约束优化的费马定理，到等式约束条件下拉格朗日乘子法的几何解释，再到不等式约束下的KKT条件，详细阐述了解决优化问题的理论与方法。KKT条件包括拉格朗日乘子的必要条件、松弛互补条件以及约束条件等，是理解约束优化问题的关键。

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约束优化方法之拉格朗日乘子法与KKT条件

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在约束最优化问题中，约束条件分为等式约束与不等式约束，对于等式约束的优化问题，可以直接应用拉格朗日乘子法去求取最优值；对于含有不等式约束的优化问题，可以转化为在满足 KKT 约束条件下应用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日求得的并不一定是最优解，只有在凸优化的情况下，才能保证得到的是 最优解，所以本文称拉格朗日乘子法得到的为 可行解， 其实就是局部极小值，接下来从无约束优化开始介绍。

一、无约束优化

首先考虑一个不带任何约束的优化问题，对于变量 x ∈ R N x \in \mathbb{R}^N x

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