拉格朗日乘数法

拉格朗日乘数法是用来求条件极值的，极值问题有两类，其一，求函数在给定区间上的极值，对自变量没有其它要求，这种极值称为无条件极值。

其二，对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值，称为条件极值。例如给定椭球：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1 \tag{1}$$
求这个椭球的内接长方体的最大体积。这个问题实际上就是条件极值问题，即在条件：
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} =1 \tag{1}$$
下，求$f(x,y,z) = 8xyz$的最大值。
当然这个问题实际可以先根据条件消去$z$，然后带入转化为无条件极值问题来处理。但是有时候这样做很困难，甚至是做不到的，

这时候就需要用拉格朗日乘数法了。如下描述：
　求函数$z=f(x,y)$在满足$p(x,y)=0$下的条件极值，可以转化为函数$F(x,y,\lambda) =f(x,y) +\lambda p(x,y)$的无条件极值问题。如果$(x_0,y_0,\lambda_0)$是函数$F(x,y,\lambda)$的驻点，则$(x_0,y_0)$就是条件极值的嫌疑点。
　回到上面的题目，通过拉格朗日乘数法将问题转化为：
　

$$F(x,y,z,\lambda) =f(x,y,z) +\lambda p(x,y,z) = 8xyz+\lambda(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}-1) \tag{2}$$
　对$F(x,y,z,\lambda)$求偏导，然后通过偏导求出$x,y,z$的关系，再与已知联立方程组，求出未知数即可。