分支限界法完整学习笔记：框架、与回溯区别、两种剪枝机制

1. 分支限界（Branch and Bound，简称 B&B）

分支限界是一种用于求解离散最优化问题的通用算法框架。它把解空间组织成一棵“状态树”，在树上做系统搜索，但用“限界”信息把不可能产生最优解的分支剪掉，从而比穷举或回溯更高效。核心思想可概括为：

1.1 分支（Branch）

把原问题分解成若干互斥且覆盖全部可行解的子问题（子集），通常表现为在状态树上再向下扩展一层。

1.2 限界（Bound）

对每个子问题计算一个“乐观估值”——即该子问题所能达到的最优目标函数值的上界（最大化问题）或下界（最小化问题）。
同时维护一个全局“当前最好解”对应的真实目标值。
如果某子问题的界限比全局最好值还差，就剪掉该分支，不再展开。

1.3 搜索顺序

常用优先队列（Best-First）每次挑“界限最乐观”的结点先扩展，以期尽快找到高质量可行解，从而更早地剪掉更多分支。

1.4 终止

当优先队列空或待扩展结点的界限都不优于已证实的最优值时结束，保证得到全局最优。

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2. 与回溯（Backtracking）的主要区别

2.1 求解目标

回溯：判定性问题（存在解？）或枚举所有解；分支限界：最优化问题（找最优解）。

2.2 搜索方式

回溯：深度优先（DFS），沿一条路走到底再回退；
分支限界：通常 Best-First，用优先队列选“最有希望”的结点先扩展。

2.3 剪枝依据

回溯：用约束条件（constraint）剪去“不可行”分支；
分支限界：除可行性外，再用“界限”剪去“不可能更优”的分支。

2.4 内存特征

回溯：栈式递归，内存 O(树深)；
分支限界：优先队列存放活结点，最坏 O(活结点数)，内存通常更大。

2.5 找到解的时机

回溯：第一次到达叶结点即可返回（判定性），或继续枚举；
分支限界：第一次出现可行解并不停止，需等到队列空或界限被“闭合”才能确认全局最优。

一句话总结：回溯是“深度优先+约束剪枝”，用于找可行解；分支限界是“最佳优先+界限剪枝”，用于找最优解。

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3. 界限剪枝（Bound Pruning）和约束剪枝（Constraint Pruning）

两者都发生在搜索树的扩展过程中，但触发条件、剪枝目的和所需信息完全不同：

3.1 触发条件

约束剪枝：只要发现某结点已经违反题目的“硬性规定”（容量超重、颜色冲突、路径不连通……）就立即剪掉。
界限剪枝：必须等算完该子问题的“乐观估值”（上/下界）后，拿它与“当前已知的最好可行解”比较；估值比已证实的还差才剪。

3.2 剪枝目的

约束剪枝：剔除“不可行”分支，保证后续只考虑可能得到合法解的路径。
界限剪枝：剔除“不可能更优”分支，保证最终不会错过全局最优，同时减少搜索量。

3.3 所需信息

约束剪枝：只需要局部约束条件，无需任何目标函数值或全局最优参考。
界限剪枝：必须能计算或估计子问题的目标函数界限，并且维护一个“全局当前最优值”（初始可用 ∞ 或某个快速启发式解）。

3.4 使用阶段

约束剪枝：回溯和分支限界都会用，通常先判断；
界限剪枝：只有分支限界（或任何求最优的 B&B 类算法）才会用，判断顺序一般放在“可行性”之后。

3.5 举例对比

0-1 背包：
– 约束剪枝：若已选物品总重 > 容量，直接剪掉；
– 界限剪枝：计算该结点剩余物品按“单位价值降序能装多少”的乐观上界，若上界 ≤ 已找到的最好价值，则剪掉。

一句话：
约束剪枝看“能不能行”，界限剪枝看“值不值得继续”；前者是“硬淘汰”，后者是“性价比淘汰”。