递归与分治

一、概念与本质

1. 递归（Recursion）

• 定义：一个函数直接 or 间接地调用自身。
• 本质：一种控制流程（control flow），与迭代并列，是“实现手段”。
• 必须满足：①基准情形（base case） ②递推关系（recursive case）。

2. 分治（Divide & Conquer）

• 定义：算法设计范式，把规模为 n 的问题分成 k 个“互相独立、可独立求解”的子问题（通常 k≥2，且子问题规模 ≈ n/b），递归求解后再合并结果。
• 本质：面向“问题分解”的顶层思想，与动态规划、贪心并列。

二、核心特征对比

维度	递归	分治
关键词	自我调用、调用栈、基准条件	拆分、独立、合并
是否要求“独立子问题”	×	√（子问题无重叠）
是否要求“合并结果”	×	√（Merge 步骤）
是否保证更小规模	需要（否则无限递归）	需要（否则无法收敛）
典型复杂度模型	T(n)=T(n-1)+O(1) 等	T(n)=aT(n/b)+f(n) 主定理
额外空间来源	调用栈（最深=递归深度）	同左，但可尾递归/迭代优化

三、执行流程拆解

1. 纯递归（以阶乘为例）

fact(n):
    if n==0: return 1          // base
    return n * fact(n-1)       // self-call，无“合并”

流程：一路压栈 → 到达 base → 一路弹栈返回乘积。

2. 分治（以归并排序为例）

mergeSort(A, l, r):
    if l==r: return            // 1. 基础规模
    mid = (l+r)//2
    mergeSort(A, l, mid)       // 2. 分
    mergeSort(A, mid+1, r)     // 2. 分
    merge(A, l, mid, r)        // 3. 合

流程：二分拆解 → 子序列有序 → 线性合并 → 向上返回。

四、复杂度示例

• 阶乘递归：T(n)=T(n-1)+O(1) ⇒ Θ(n) 时间，Θ(n) 栈空间。
• 归并分治：T(n)=2T(n/2)+Θ(n) ⇒ Θ(n log n) 时间，Θ(n) 额外空间（merge 数组 + log n 栈）。
• 快速幂/二分搜索：T(n)=T(n/2)+Θ(1) ⇒ Θ(log n) 时间，Θ(log n) 栈（可尾递归消掉）。

五、代码骨架模板

1. 通用递归

def recursion(参数):
    if 基准情形: return 基准值
    缩小参数
    子结果 = recursion(缩小后参数)
    return 利用子结果构造当前结果

2. 通用分治

def divide_and_conquer(参数):
    if 规模足够小: return 蛮力解
    拆分成 k 个子问题
    for 子问题 in 子问题列表:
        子结果.append(divide_and_conquer(子问题))
    return merge(子结果列表)

其中 merge() 复杂度决定整个复杂度的 f(n) 项。

六、典型例子对号入座

• 只用递归，不属于分治
  – 阶乘、斐波那契（朴素）、链表逆序打印、DFS 求连通块。
• 分治 + 递归
  – 归并排序、快速排序、二分搜索、最大子段和（线段树/DC 法）、Strassen 矩阵乘、最近点对、FFT。

七、常见误区澄清

1. “递归一定比分治慢” → 错误。递归只是实现手段，复杂度由算法本身决定。
2. “分治必须二分” → 错误。可三分、四分（如 k-way 归并），只要子问题独立。
3. “有了递归就不用迭代” → 错误。深递归可能栈溢出，可用显式栈或 bottom-up 消递归。
4. “分治和动态规划都需要子问题” → 区别在“子问题是否重叠”。分治子问题独立，DP 子问题重叠且通常用记忆化/填表。

八、总结

• 递归：手段 → 自我调用 → 关注“终止+递推式”。
• 分治：思想 → 拆-治-合 → 关注“独立+合并”。
• 关系：分治常常用递归落地，但递归也能干别的；分治可改写成迭代（bottom-up），只要你能手动维护栈/队列。