《机器学习线性代数基础：Python语言描述》读书笔记----相似矩阵与相似变换

坐标取决于基底

结合前面知识，可知，坐标的表示使是基于 基底的。

书中给出一个例子：对于一个物体，它是客观存在的（类比：某个指定向量在空间中的绝对位置）。但是，如果换一个角度 看这个物体（类比：在空间中选取不同的基底），那么从不同角度看，则会看到不同的效果（类比：不同基底下对应的不同坐标值）。

描述线性变换的矩阵也取决与基底

对于一个向量而言，其空间位置改变，选取的基底不同，表征其线性变换的矩阵就不同。

这里可以结合文章《计算基底变换后坐标》看。

相似矩阵与相似变换

针对指定向量的同一个空间变换，用来在不同基底下进行描述的不同矩阵，彼此之间成为相似矩阵。相似矩阵所表示的线性变换，彼此之间称为相似变换。

设一向量在基底 $(e_1,e_2)$下坐标为x，通过矩阵A完成了线性变换的过程，得到新的坐标为y’，也可以通过矩阵P，将行了变换到新基底$(e_1^{\prime },e_2^{\prime })$下的坐标表示，此时向量的坐标记作$Px$。

此时，在新的基底下，用来表示上面同一个空间变换的则是矩阵B，即在新基底下变换后的目标坐标为$BPx$。如果要换回原来基底下的坐标表示，则通过左乘一个逆矩阵$P^{-1}$来完成，即$A=P^{-1}BP$。

图。

在上述描述中，A和B就是相似矩阵，它们分别表示了同一个向量在两个不同基底下的相似变换过程。