本文探讨了实数域上椭圆曲线的计算，具体涉及如何求解给定点G在椭圆曲线E11上的2G。通过椭圆曲线方程E11：y2=x3+x+6 (mod 11)，计算直线方程和解三次方程以找到多倍点。过程中提到了求导和分数求模的方法，并指出在求和点P+Q时，实际应考虑其关于x轴的对称点。
我们现在所要解决的问题是实数域上的椭圆曲线问题，故方程式为： y 2 y^2 y2= x 3 x^3 x3+ a x ax ax+b
1、已知点G=（2，7）在椭圆曲线E11（1，6）上，计算2G的值。
(1)已知椭圆曲线方程E11为：
y
2
y^2
y2=
x
3
x^3
x3+
x
x
x+6（mod 11)
(2)求G与曲线相切时的斜率（即求导），得到直线方程
(3)将直线方程代入曲线方程，解一个三次方程
具体步骤及推导过程如下图所示：
关于分数求模的具体做法可以参考这篇文章。
在推导的时候我弄错了一件事，以致于怎么推导， y 3 y_3 y3的符号都不对,那就是P+Q并不在PQ上，而是在-PQ上，即P+Q关于x轴的对称点在PQ上。
直线PQ的斜率为k。
k
=
{
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
,
P
≠
Q
3
x
2
+
a
2
y
,
P
=
Q
k=\left\{ \begin{array}{l} \frac {y_2-y_1}{x_2-x_1},P \neq Q \\ \frac{3x^2+a}{2y},P = Q \end{array} \right.
k={x2−x1y2−y1,P̸=Q2y3x2+a,P=Q
P+Q的坐标
(
x
3
,
y
3
)
(x_3,y_3)
(x3,y3)为
{
x
3
=
k
2
−
x
1
−
x
2
y
3
=
k
(
x
1
−
x
3
)
−
y
1
\left\{ \begin{array}{l} {x_3}=k^2-x_1-x_2 \\ {y_3}=k(x_1-x_3)-y_1 \end{array} \right.
{x3=k2−x1−x2y3=k(x1−x3)−y1
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