53、探索基于SIDH的签名参数

探索基于SIDH的签名参数

1. 路径长度与时间复杂度

在某些方法中，返回的最短路径长度为 $\frac{3}{2} \log p$，所需时间为 $\tilde{O}(p)$。这里的 $p$ 略小于 $2^{2\lambda}$。生成长度为 $\frac{3}{2} \log p$ 的路径的攻击成本远大于安全参数。若将运行时间设为 $\sqrt{p} \approx 2^{\lambda}$，则该方法输出的路径长度为 $2 \log p$。

2. 非极端阶的KLPT算法

设 $E$ 和 $E_1$ 是定义在 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上的两个超奇异椭圆曲线，已知它们的自同态环分别为 $O$ 和 $O_1$，$I$ 是 $O$ 和 $O_1$ 的连接理想，$O_0$ 是特殊的极端阶，$I_0 = I(O_0, O)$。问题是找到一个与 $I$ 等价的具有光滑范数的 $O$-左理想。

2.1 [42]中的方法

步骤如下：
1. 计算 $I_1 = I_0 \frac{\overline{\gamma_1}}{\text{Nrd}(I_0)}$，其中 $\text{Nrd}(\gamma_1) = n_1 \text{Nrd}(I_0)$；
2. 计算 $I_2 = I_0I \frac{\overline{\gamma_2}}{\text{Nrd}(I_0I)}$，其中 $\text{Nrd}(\gamma_2) = n_2 \text{Nrd}(I_0I)$；
3. 返回 $\frac{I\overline{\gamma}}{\text{Nrd}(I)}$，其中 $\gamma = \over