12、数据科学中的几何方法：距离度量与流形学习

数据科学中的几何方法：距离度量与流形学习

1. 距离度量与Gromov - Hausdorff比较

在数据科学中，比较样本点之间的距离矩阵是一项重要任务。可以使用如下代码来实现：

gromovdist(m1,m2,"lp",p=2)

对于随机样本，Gromov - Hausdorff距离为5.8。我们可以基于此度量模拟非参数检验，以确定圆盘和直线的嵌入在统计上是否相同。改变度量参数可能会改变嵌入之间的显著差异或嵌入的质量。

lp 参数允许使用本章前面讨论过的基于范数的度量。在这个特定的比较中，我们使用了欧几里得范数，因为两个样本都位于欧几里得空间中，且摄入的距离矩阵是由欧几里得范数定义的。其他范数，如曼哈顿范数或切比雪夫范数，也是可行的，并且对于其他问题可能更合适。不过需要注意的是，该算法会搜索所有可能的等距嵌入，因此对于某些问题，计算时间和所需内存可能会很大。

2. 基于度量几何的K近邻算法

度量几何在许多算法中都有应用，其中包括K近邻（k - NN）分析。k - NN算法根据对象附近的分类来对观测值进行分类。可以通过一个高中食堂的例子来理解这种方法：

在食堂里有三个不同的学生小团体，分别是深灰色团体、灰色团体和浅灰色团体。像学生A、B和C倾向于和他们的朋友待在一起，使用距离度量（如欧几里得距离或学生之间的地砖数量），根据站在他们附近的任意数量的学生来对他们进行分类，会得到相当准确的分类结果。

然而，有一些学生，如学生D和E，位于其他团体附近或处于三个团体之间。学生E可能既是受